গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$\cos^3 x \sin 3x + \sin^3 x \cos 3x = \frac{3}{4}$

উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে পাই,
$4\cos^3 x \sin 3x + 4\sin^3 x \cos 3x = 3$

আমরা জানি,
$4\cos^3 x = 3\cos x + \cos 3x$
$4\sin^3 x = 3\sin x - \sin 3x$

মান বসিয়ে পাই,
$(3\cos x + \cos 3x)\sin 3x + (3\sin x - \sin 3x)\cos 3x = 3$
$\Rightarrow 3\sin 3x \cos x + \sin 3x \cos 3x + 3\sin x \cos 3x - \sin 3x \cos 3x = 3$
$\Rightarrow 3(\sin 3x \cos x + \cos 3x \sin x) = 3$
$\Rightarrow 3\sin(3x + x) = 3$
$\Rightarrow \sin 4x = 1$

যেহেতু $\sin 4x = 1$,
$4x = 2n\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{(4n+1)\pi}{2}$
$\Rightarrow x = \frac{(4n+1)\pi}{8}$, যেখানে $n$ একটি পূর্ণসংখ্যা।

যেহেতু ব্যবধি $0 \le x \le \frac{3\pi}{2}$:

• $n = 0$ হলে, $x = \frac{\pi}{8}$
• $n = 1$ হলে, $x = \frac{5\pi}{8}$
• $n = 2$ হলে, $x = \frac{9\pi}{8}$
• $n = 3$ হলে, $x = \frac{13\pi}{8} > \frac{12\pi}{8} = \frac{3\pi}{2}$ (গ্রহণযোগ্য নয়)

অতএব, নির্ণেয় সমাধান:
$x = \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{9\pi}{8}$