গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ:
$27x^2 + 6x - (p+2) = 0$

ধরি, সমীকরণটির একটি মূল $\alpha$ এবং অপর মূলটি $\alpha^2$।

মূলদ্বয়ের যোগফল,
$\alpha + \alpha^2 = -\frac{6}{27} = -\frac{2}{9}$
$\implies 9\alpha^2 + 9\alpha + 2 = 0$
$\implies 9\alpha^2 + 6\alpha + 3\alpha + 2 = 0$
$\implies 3\alpha(3\alpha + 2) + 1(3\alpha + 2) = 0$
$\implies (3\alpha + 1)(3\alpha + 2) = 0$
$\therefore \alpha = -\frac{1}{3} \quad \text{অথবা} \quad \alpha = -\frac{2}{3}$

আবার, মূলদ্বয়ের গুণফল,
$\alpha \cdot \alpha^2 = \frac{-(p+2)}{27}$
$\implies \alpha^3 = -\frac{p+2}{27}$
$\implies p + 2 = -27\alpha^3$

ক্ষেত্র ১: যখন $\alpha = -\frac{1}{3}$,
$p + 2 = -27 \left(-\frac{1}{3}\right)^3 = -27 \left(-\frac{1}{27}\right) = 1$
$\implies p = 1 - 2 = -1$

ক্ষেত্র ২: যখন $\alpha = -\frac{2}{3}$,
$p + 2 = -27 \left(-\frac{2}{3}\right)^3 = -27 \left(-\frac{8}{27}\right) = 8$
$\implies p = 8 - 2 = 6$

অতএব, $p$ এর নির্ণেয় মান $-1$ অথবা $6$।