গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ এবং $\beta$।
তাহলে,
$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$
$\alpha\beta = \frac{c}{a}$

আমরা জানি,
$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$
$\Rightarrow \alpha^3 + \beta^3 = \left(-\frac{b}{a}\right)^3 - 3\left(\frac{c}{a}\right)\left(-\frac{b}{a}\right) = -\frac{b^3}{a^3} + \frac{3bc}{a^2} = \frac{3abc - b^3}{a^3}$
$\Rightarrow 3abc - b^3 = a^3(\alpha^3 + \beta^3)$
$\Rightarrow 3b^3 - 9abc = -3a^3(\alpha^3 + \beta^3)$

প্রদত্ত শর্তটি হলো:
$3b^3 + 9a^2c + ac^2 = 9abc$
$\Rightarrow (3b^3 - 9abc) + 9a^2c + ac^2 = 0$

উভয়পক্ষকে $a^3$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
$\frac{3b^3 - 9abc}{a^3} + 9\left(\frac{c}{a}\right) + \left(\frac{c}{a}\right)^2 = 0$
$\Rightarrow -3(\alpha^3 + \beta^3) + 9\alpha\beta + (\alpha\beta)^2 = 0$
$\Rightarrow 3(\alpha^3 + \beta^3) = \alpha^2\beta^2 + 9\alpha\beta$

অতএব, সমীকরণটির মূলদ্বয়ের মধ্যবর্তী নির্ণেয় সম্পর্ক:
$3(\alpha^3 + \beta^3) = (\alpha\beta)^2 + 9\alpha\beta$
(অথবা, একটি মূল অপরটির বর্গের তিনগুণ)।