গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

১. লেখচিত্র অঙ্কন:
$y = 1 - x^2$ সমীকরণটি একটি পরাবৃত্তকে নির্দেশ করে যার শীর্ষবিন্দু $(0, 1)$ এবং অক্ষ y-অক্ষ বরাবর নিচের দিকে প্রসারিত।
$[0, 2]$ ব্যবধিতে কয়েকটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক:

• $x = 0 \implies y = 1$ : বিন্দু $(0, 1)$
• $x = 1 \implies y = 0$ : বিন্দু $(1, 0)$
• $x = 2 \implies y = -3$ : বিন্দু $(2, -3)$
  লেখচিত্রটিতে $(0, 1)$ থেকে শুরু হয়ে বক্ররেখাটি $(1, 0)$ বিন্দুতে x-অক্ষকে ছেদ করে $(2, -3)$ বিন্দু পর্যন্ত বিস্তৃত হবে।

২. $[0, 2]$ ব্যবধিতে গ্রাফটি x-অক্ষের সাথে আবদ্ধ ক্ষেত্রফল:
ক্ষেত্রফল,
$A = \int_{0}^{2} |y| dx = \int_{0}^{1} (1 - x^2) dx + \int_{1}^{2} -(1 - x^2) dx$
$= \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 + \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_1^2$
$= \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left[\left(\frac{8}{3} - 2\right) - \left(\frac{1}{3} - 1\right)\right]$
$= \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3} + \frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2 \text{ বর্গ একক}$

৩. ইন্টিগ্রালের মান নির্ণয়:
$\int_{0}^{2} (1 - x^2) dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_0^2$
$= 2 - \frac{2^3}{3} = 2 - \frac{8}{3} = -\frac{2}{3}$