উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

(৮) ধরি $A = \sin^{-1}\frac{4}{5}$, $B = \sin^{-1}\frac{5}{13}$, $C = \sin^{-1}\frac{16}{65}$।

তাহলে $\sin A = \frac{4}{5}$, $\cos A = \frac{3}{5}$; $\sin B = \frac{5}{13}$, $\cos B = \frac{12}{13}$।

$\sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B = \frac{4}{5}\cdot\frac{12}{13} + \frac{3}{5}\cdot\frac{5}{13} = \frac{48+15}{65} = \frac{63}{65}$

$\cos(A+B) = \cos A\cos B - \sin A\sin B = \frac{3}{5}\cdot\frac{12}{13} - \frac{4}{5}\cdot\frac{5}{13} = \frac{36-20}{65} = \frac{16}{65}$

এখন $\sin C = \frac{16}{65} = \cos(A+B) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - (A+B)\right)$। $A+B$ ও $C$ দুটিই $0$ থেকে $\frac{\pi}{2}$-এর মধ্যে (সাইন ও কোসাইন ধনাত্মক), তাই $C = \frac{\pi}{2} - (A+B)$।

অতএব $A+B+C = \frac{\pi}{2}$।

উত্তর: $\mathbf{\frac{\pi}{2}}$