$\int_{\sqrt{2}}^{x} \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}} = \frac{\pi}{2}$ হলে $x=?$

Question

Accepted Answer

ঘ. None ব্যাখ্যা: $\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=\sec^{-1}x$, তাই $\sec^{-1}x-\sec^{-1}\sqrt2=\frac\pi2$ ⇒ $\sec^{-1}x=\frac\pi2+\frac\pi4=\frac{3\pi}{4}$। এতে $x=\sec\frac{3\pi}{4}=-\sqrt2$ আসে, যা অপশনে নেই। তাছাড়া সমাকলনের ফাংশনটি $x=\pm1$ এ অসংজ্ঞায়িত, তাই ধনাত্মক $x$ থেকে $-\sqrt2$ পর্যন্ত যোগজ বৈধ নয়। ধনাত্মক $x>\sqrt2$ এর জন্য যোগজের মান সর্বদা $\frac\pi4$ এর কম, কখনও $\frac\pi2$ হয় না। ক, খ, গ কোনোটিই বৈধ নয়। অতএব 'None'। **শর্টকাট:** x > √2 এর জন্য $\sec^{-1}x<\frac\pi2$, তাই $\sec^{-1}x-\frac\pi4<\frac\pi4<\frac\pi2$ — সমীকরণ অসম্ভব। **মনে রাখার কৌশল:** $\sec^{-1}x$ এর পরিসর $[0,\pi]$, $x>1$ এর জন্য $[0,\frac\pi2)$। **একই ধরনের প্রশ্ন:** ১. $\int_{\sqrt2}^{2}\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=?$ *উত্তর:* $\frac\pi3-\frac\pi4=\frac\pi{12}$

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন