উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

(৪) লক্ষ্য করি, প্রশ্নে সম্ভবত মুদ্রণ ত্রুটি আছে: প্রমাণযোগ্য সম্পর্কটি $y=px^2+qx^{-\frac12}$ এর জন্য সত্য (ঋণাত্মক চিহ্ন বাদ পড়েছে)। ($x^{\frac12}$ বসালে সম্পর্কটি মেলে না: বাম পক্ষ $=2px^2-qx^{1/2}$, আর $2y=2px^2+2qx^{1/2}$।) তাই উদ্দিষ্ট প্রশ্ন ধরে প্রমাণ করা হলো।

দেওয়া আছে $y=px^2+qx^{-\frac12}$।

$\frac{dy}{dx}=2px-\frac{q}{2}x^{-\frac32}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=2p+\frac{3q}{4}x^{-\frac52}$

এখন বাম পক্ষ:
$2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=4px^2+\frac{3q}{2}x^{-\frac12}$
$x\frac{dy}{dx}=2px^2-\frac{q}{2}x^{-\frac12}$

$2x^2\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}=4px^2-2px^2+\frac{3q}{2}x^{-\frac12}+\frac{q}{2}x^{-\frac12}=2px^2+2qx^{-\frac12}=2\left(px^2+qx^{-\frac12}\right)=2y$

প্রমাণিত: $2x^2\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}=2y$