গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:
$x^2 + y^2 - 5mx + 12my = 0$

বৃত্তের সমীকরণে কোনো ধ্রুবক পদ নেই, অর্থাৎ $(0, 0)$ বিন্দুটি বৃত্তের ওপর অবস্থিত।

আমরা জানি, $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ বৃত্তের $(x_1, y_1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ:
$xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$

এখানে, $2g = -5m \implies g = -\frac{5m}{2}$
এবং $2f = 12m \implies f = 6m$

অতএব, মূলবিন্দু $(0, 0)$-তে বৃত্তটির স্পর্শকের সমীকরণ:
$x(0) + y(0) - \frac{5m}{2}(x + 0) + 6m(y + 0) = 0$
$\Rightarrow -\frac{5m}{2}x + 6my = 0$
$\Rightarrow -5mx + 12my = 0$

যেহেতু বৃত্তের ব্যাসার্ধ অশূন্য ($m \neq 0$), উভয়পক্ষকে $-m$ দ্বারা ভাগ করে পাই:
$5x - 12y = 0$

উত্তর: $5x - 12y = 0$