উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: ΔABC\Delta ABC এর অন্ত:কেন্দ্রে II তে P1,P2,P3P_1, P_2, P_3 মানের তিনটি বল যথাক্রমে IA,IB,ICIA, IB, IC বরাবর ক্রিয়া করে ভারসাম্য সৃষ্টি করে।
দৃশ্যকল্প-২: PP ও QQ মানের দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল একটি কঠিন বস্তুর উপর ক্রিয়া করছে। PP বলটির ক্রিয়ারেখা সমান্তরাল রেখে তার ক্রিয়াবিন্দুকে QQ এর দিকে bb দূরত্বে সরানো হলো।

  1. ক)

    FF মানের দুইটি সমান বল কোনো বিন্দুতে 60∘60^\circ কোণে ক্রিয়া করে 33N3\sqrt{3}N বলের সাহায্যে ভারসাম্য সৃষ্টি করে, FF এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ এর সাহায্যে প্রমাণ কর যে, P1cos⁡A2=P2cos⁡B2=P3cos⁡C2\frac{P_1}{\cos\frac{A}{2}} = \frac{P_2}{\cos\frac{B}{2}} = \frac{P_3}{\cos\frac{C}{2}}

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, লব্ধিরেখা সরণ PbP+Q\frac{Pb}{P+Q} দূরে সরে যায়।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, FF মানের দুইটি সমান বল 60∘60^\circ কোণে ক্রিয়া করে।
    তাদের লব্ধির মান,
    R=F2+F2+2⋅F⋅Fcos⁡60∘=2F2+2F2⋅12=3F2=3FR = \sqrt{F^2 + F^2 + 2 \cdot F \cdot F \cos 60^\circ} = \sqrt{2F^2 + 2F^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{3F^2} = \sqrt{3}F
    যেহেতু বলদ্বয় 33 N3\sqrt{3}\text{ N} বলের সাথে ভারসাম্য সৃষ্টি করে, তাই এদের লব্ধি উক্ত বলের সমান ও বিপরীতমুখী হবে।
    অতএব, R=33 NR = 3\sqrt{3}\text{ N}
    বা, 3F=33\sqrt{3}F = 3\sqrt{3}
    বা, F=3 NF = 3\text{ N} (Ans.)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-১ অনুযায়ী, ΔABC\Delta ABC এর অন্তঃকেন্দ্র II-তে P1,P2,P3P_1, P_2, P_3 বলত্রয় যথাক্রমে IA,IB,ICIA, IB, IC বরাবর ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থায় রয়েছে।
    এখানে, IA,IB,ICIA, IB, IC হলো যথাক্রমে ∠A,∠B,∠C\angle A, \angle B, \angle C এর সমদ্বিখণ্ডক।
    অতএব, ∠BIC=180∘−(∠IBC+∠ICB)=180∘−(B2+C2)=180∘−B+C2=180∘−180∘−A2=90∘+A2\angle BIC = 180^\circ - (\angle IBC + \angle ICB) = 180^\circ - \left(\frac{B}{2} + \frac{C}{2}\right) = 180^\circ - \frac{B+C}{2} = 180^\circ - \frac{180^\circ - A}{2} = 90^\circ + \frac{A}{2}
    অনুরূপভাবে, ∠CIA=90∘+B2\angle CIA = 90^\circ + \frac{B}{2} এবং ∠AIB=90∘+C2\angle AIB = 90^\circ + \frac{C}{2}।
    লামির উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,
    P1sin⁡∠BIC=P2sin⁡∠CIA=P3sin⁡∠AIB\frac{P_1}{\sin \angle BIC} = \frac{P_2}{\sin \angle CIA} = \frac{P_3}{\sin \angle AIB}
    বা, P1sin⁡(90∘+A/2)=P2sin⁡(90∘+B/2)=P3sin⁡(90∘+C/2)\frac{P_1}{\sin(90^\circ + A/2)} = \frac{P_2}{\sin(90^\circ + B/2)} = \frac{P_3}{\sin(90^\circ + C/2)}
    বা, P1cos⁡(A/2)=P2cos⁡(B/2)=P3cos⁡(C/2)\frac{P_1}{\cos(A/2)} = \frac{P_2}{\cos(B/2)} = \frac{P_3}{\cos(C/2)} (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    মনে করি, একটি বস্তুর AA ও BB বিন্দুতে যথাক্রমে PP ও QQ মানের দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়া করে এবং তাদের লব্ধি P+QP+Q রেখাংশের CC বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
    সুতরাং, সমান্তরাল বলের সূত্রানুযায়ী,
    P⋅AC=Q⋅BCP \cdot AC = Q \cdot BC
    বা, P⋅AC=Q(AB−AC)P \cdot AC = Q (AB - AC)
    বা, (P+Q)AC=Q⋅AB(P + Q) AC = Q \cdot AB
    ∴AC=QP+QAB\therefore AC = \frac{Q}{P+Q} AB ... (১)

    এখন, PP বলটিকে সমান্তরাল রেখে তার ক্রিয়াবিন্দুকে QQ বলের দিকে bb দূরত্বে অর্থাৎ A′A' বিন্দুতে সরানো হলো, যেখানে AA′=bAA' = b।
    ফলে লব্ধি CC থেকে C′C' বিন্দুতে সরে যায়।
    নতুন অবস্থানে সাম্যাবস্থার শর্তানুযায়ী,
    P⋅A′C′=Q⋅BC′P \cdot A'C' = Q \cdot BC'
    বা, P⋅A′C′=Q(A′B−A′C′)P \cdot A'C' = Q (A'B - A'C')
    বা, (P+Q)A′C′=Q⋅A′B(P + Q) A'C' = Q \cdot A'B
    ∴A′C′=QP+QA′B=QP+Q(AB−b)\therefore A'C' = \frac{Q}{P+Q} A'B = \frac{Q}{P+Q} (AB - b) ... (২)

    ধরি, লব্ধির সরণ CC′=xCC' = x।
    চিত্রানুযায়ী, AC′=AC+x=AA′+A′C′=b+A′C′AC' = AC + x = AA' + A'C' = b + A'C'
    বা, x=b+A′C′−ACx = b + A'C' - AC
    (১) ও (২) নং সমীকরণ হতে মান বসিয়ে পাই,
    x=b+QP+Q(AB−b)−QP+QABx = b + \frac{Q}{P+Q}(AB - b) - \frac{Q}{P+Q} AB
    বা, x=b−Q⋅bP+Q=(P+Q)b−QbP+Q=PbP+Qx = b - \frac{Q \cdot b}{P+Q} = \frac{(P + Q)b - Qb}{P + Q} = \frac{Pb}{P+Q}
    অতএব, লব্ধিরেখা PbP+Q\frac{Pb}{P+Q} দূরত্বে সরে যায়। (দেখানো হলো)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন