গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত রাশি,
$(1 - 5x + 6x^2)^{-1} = \frac{1}{1 - 5x + 6x^2} = \frac{1}{(1 - 2x)(1 - 3x)}$

আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তর করে পাই,
$\frac{1}{(1 - 2x)(1 - 3x)} = \frac{3}{1 - 3x} - \frac{2}{1 - 2x}$
$= 3(1 - 3x)^{-1} - 2(1 - 2x)^{-1}$

যেহেতু $|x| < \frac{1}{3}$, সেহেতু $|3x| < 1$ এবং $|2x| < 1$।
অতএব, দ্বিপদী উপপাদ্য অনুযায়ী বিস্তৃত করে পাই,
$3(1 - 3x)^{-1} - 2(1 - 2x)^{-1}$
$= 3(1 + 3x + 3^2x^2 + \dots + 3^nx^n + \dots) - 2(1 + 2x + 2^2x^2 + \dots + 2^nx^n + \dots)$
$= 3 \sum_{n=0}^{\infty} 3^n x^n - 2 \sum_{n=0}^{\infty} 2^n x^n$
$= \sum_{n=0}^{\infty} (3^{n+1} - 2^{n+1}) x^n$

সুতরাং, বিস্তৃতিতে $x^n$ এর সহগ হলো:
$3^{n+1} - 2^{n+1}$।