গণিত প্রশ্ন

AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

স্পষ্ট অনুমান: প্রশ্নটিতে 'c=am \mathrm{c}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{m}}' একটি মুদ্রণজনিত ত্রুটি; প্রকৃত প্রমাণ্য বিষয় হলো c = a/m। | পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে a ≠ 0 এবং স্পর্শকটি উল্লম্ব নয় অর্থাৎ m ≠ 0।

প্রদত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণ:
y² = 4ax ... (i)

প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ:
y = mx + c ... (ii)

(ii) নং হতে y এর মান (i) নং-এ বসিয়ে পাই,
(mx + c)² = 4ax
বা, m²x² + 2mcx + c² = 4ax
বা, m²x² + 2(mc - 2a)x + c² = 0 ... (iii)

যেহেতু (ii) নং সরলরেখাটি (i) নং পরাবৃত্তের একটি স্পর্শক, তাই (iii) নং দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে, অর্থাৎ সমীকরণটির নিশ্চায়ক (D) শূন্য হবে।

অতএব, D = 0
বা, [2(mc - 2a)]² - 4 · m² · c² = 0
বা, 4(m²c² - 4amc + 4a²) - 4m²c² = 0
বা, 4m²c² - 16amc + 16a² - 4m²c² = 0
বা, 16a² - 16amc = 0
বা, 16a(a - mc) = 0

যেহেতু পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে a ≠ 0,
সুতরাং, a - mc = 0
বা, mc = a
বা, c = a/m (প্রমাণিত)।