দেয়া আছে, ∫0x(t−3t3+7)dtx \int_{0}^{x} \left ( \frac{t - 3}{t^{3} + 7} \right ) dt x এর মান কত হলে, নূন্যতম হবে?

Question

দেয়া আছে,  ∫0x(t−3t3+7)dtx \int_{0}^{x} \left ( \frac{t - 3}{t^{3} + 7} \right ) dt x এর মান কত হলে, নূন্যতম হবে?

Accepted Answer

ক. 3

ব্যাখ্যা: ধরি, প্রদত্ত ফাংশনটি $F(x) = \int_{0}^{x} \left( \frac{t - 3}{t^{3} + 7} \right) dt$।

ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য (Fundamental Theorem of Calculus / Leibniz Rule) অনুসারে, $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই:
$F'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \int_{0}^{x} \frac{t - 3}{t^3 + 7} dt \right] = \frac{x - 3}{x^3 + 7}$

ফাংশনটির মান চরম (সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন) হওয়ার জন্য প্রথম অন্তরজের মান শূন্য হতে হবে, অর্থাৎ:
$F'(x) = 0$
$\implies \frac{x - 3}{x^3 + 7} = 0$
$\implies x - 3 = 0$
$\implies x = 3$

দ্বিতীয় অন্তরজ নির্ণয় করে পাই:
$F''(x) = \frac{1 \cdot (x^3 + 7) - (x - 3) \cdot 3x^2}{(x^3 + 7)^2}$

$x = 3$ বসিয়ে পাই:
$F''(3) = \frac{(3^3 + 7) - 0}{(3^3 + 7)^2} = \frac{1}{34} > 0$

যেহেতু $F''(3) > 0$, সুতরাং $x = 3$ বিন্দুতে ফাংশনটি ন্যূনতম মান ধারণ করে। অতএব, সঠিক উত্তর 3।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন