x3+y3=3xy এর কোন বিন্দুতে স্পর্শক x- অক্ষের সমান্তরাল?

Question

x3+y3=3xy এর কোন বিন্দুতে  স্পর্শক x- অক্ষের সমান্তরাল?

Accepted Answer

গ. (213,223) \left ( 2^{\frac{1}{3}} , 2^{\frac{2}{3}} \right )

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত বক্ররেখা: $x^3+y^3=3xy$। x-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, $3x^2+3y^2\frac{dy}{dx}=3y+3x\frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx}=\frac{y-x^2}{y^2-x}$। স্পর্শক x-অক্ষের সমান্তরাল হলে ঢাল $\frac{dy}{dx}=0$ হবে, অর্থাৎ $y-x^2=0 \implies y=x^2$। বক্ররেখার সমীকরণে $y=x^2$ বসিয়ে পাই, $x^3+(x^2)^3=3x(x^2) \implies x^6-2x^3=0$। যেহেতু মূলবিন্দুতে $(0,0)$ স্পর্শকটি সংজ্ঞায়িত নয়, তাই $x^3=2 \implies x=2^{1/3}$। অতএব, $y=(2^{1/3})^2=2^{2/3}$। নির্ণেয় বিন্দুটি হলো $(2^{1/3}, 2^{2/3})$।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন