উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ: $x^2 + y^2 - 3y = 0$
   আমরা জানি, কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্কের সম্পর্ক:
   $x = r\cos\theta$
   $y = r\sin\theta$
   এবং $x^2 + y^2 = r^2$

   মান বসিয়ে পাই,
   $r^2 - 3r\sin\theta = 0$
   $\implies r(r - 3\sin\theta) = 0$
   যেহেতু $r \neq 0$ (মূলবিন্দু ব্যতীত),
   $\therefore r = 3\sin\theta$

   নির্ণেয় পোলার সমীকরণ: $r = 3\sin\theta$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে, $A(3, 0)$ এবং $B(0, 4)$।
   $AB$ সরলরেখার সমীকরণ:
   $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$
   $\implies 4x + 3y - 12 = 0$ ...(i)

   $AB$ রেখার লম্ব রেখার সমীকরণ:
   $3x - 4y + k = 0$ ...(ii)
   যেহেতু লম্ব রেখাটি $C(2, 1)$ বিন্দুগামী,
   $3(2) - 4(1) + k = 0$
   $\implies 6 - 4 + k = 0$
   $\implies k = -2$

   অতএব, $CD$ রেখার সমীকরণ: $3x - 4y - 2 = 0$ ...(iii)

   এখন, (i) ও (iii) সমাধান করে ছেদবিন্দু $D$ এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি:
   (i) $\times 4 \implies 16x + 12y = 48$
   (iii) $\times 3 \implies 9x - 12y = 6$
   যোগ করে পাই,
   $25x = 54 \implies x = \frac{54}{25}$

   (i) নং সমীকরণে $x$ এর মান বসিয়ে:
   $4\left(\frac{54}{25}\right) + 3y = 12$
   $\implies 3y = 12 - \frac{216}{25} = \frac{300 - 216}{25} = \frac{84}{25}$
   $\implies y = \frac{28}{25}$

   অতএব, $D$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(\frac{54}{25}, \frac{28}{25}\right)$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে প্রাপ্ত শীর্ষবিন্দুসমূহ: $A(3, 0)$, $B(0, 4)$ এবং $C(2, 1)$।

   $C(2, 1)$ ও $A(3, 0)$ বিন্দুগামী রেখা $CA$-এর সমীকরণ:
   $\frac{y - 1}{0 - 1} = \frac{x - 2}{3 - 2}$
   $\implies \frac{y - 1}{-1} = \frac{x - 2}{1}$
   $\implies x - 2 = -y + 1$
   $\implies x + y - 3 = 0$ ...(i)

   $C(2, 1)$ ও $B(0, 4)$ বিন্দুগামী রেখা $CB$-এর সমীকরণ:
   $\frac{y - 1}{4 - 1} = \frac{x - 2}{0 - 2}$
   $\implies \frac{y - 1}{3} = \frac{x - 2}{-2}$
   $\implies -2y + 2 = 3x - 6$
   $\implies 3x + 2y - 8 = 0$ ...(ii)

   $CA$ ও $CB$ রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\angle ACB$-এর সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ:
   $\frac{x + y - 3}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \pm \frac{3x + 2y - 8}{\sqrt{3^2 + 2^2}}$
   $\implies \frac{x + y - 3}{\sqrt{2}} = \pm \frac{3x + 2y - 8}{\sqrt{13}}$
   $\implies \sqrt{13}(x + y - 3) = \pm \sqrt{2}(3x + 2y - 8)$

   (+) চিহ্ন নিয়ে:
   $\sqrt{13}x + \sqrt{13}y - 3\sqrt{13} = 3\sqrt{2}x + 2\sqrt{2}y - 8\sqrt{2}$
   $\implies (\sqrt{13} - 3\sqrt{2})x + (\sqrt{13} - 2\sqrt{2})y - 3\sqrt{13} + 8\sqrt{2} = 0$

   (-) চিহ্ন নিয়ে:
   $\sqrt{13}x + \sqrt{13}y - 3\sqrt{13} = -3\sqrt{2}x - 2\sqrt{2}y + 8\sqrt{2}$
   $\implies (\sqrt{13} + 3\sqrt{2})x + (\sqrt{13} + 2\sqrt{2})y - 3\sqrt{13} - 8\sqrt{2} = 0$

   অতএব, নির্ণেয় সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ:
   $(\sqrt{13} \mp 3\sqrt{2})x + (\sqrt{13} \mp 2\sqrt{2})y - 3\sqrt{13} \pm 8\sqrt{2} = 0$