p, q এর কোন মানের জন্য (x−2)(x−p)+(x−p)(x−q)+(x−q)(x−2)=0 (x-2)(x-p) + (x-p)(x-q) + (x-q)(x-2) = 0 সমীকরণটির মূলদ্বয় পূর্ণ বর্গ হবে?

Question

Accepted Answer

ঘ. p=2,q=2 p=2, q=2

ব্যাখ্যা: সমীকরণ বিস্তার করে: $3x^2-2(2+p+q)x+(2p+2q+pq)=0$।

মূলদ্বয় সমান (পূর্ণবর্গ) হতে নিরূপক শূন্য: $(2+p+q)^2=3(2p+2q+pq)$

⇒ $p^2+q^2+4-2p-2q-pq=0$।

অপশন যাচাই: $p=q=2$ হলে $4+4+4-4-4-4=0$ ✓। অন্যগুলো: $p=q=1$ ⇒ 1; $p=2,q=1$ ⇒ 1; $p=1,q=2$ ⇒ 1 — কোনোটিই শূন্য নয়।

অতএব $p=2,\ q=2$।

**শর্টকাট:** $p=q=2$ বসালে সমীকরণ $3(x-2)^2=0$, যা সরাসরি পূর্ণবর্গ।

**মনে রাখার কৌশল:** সমান মূল ⇒ নিরূপক $b^2-4ac=0$; অপশন বসিয়ে যাচাই করা দ্রুততম।

**একই ধরনের প্রশ্ন:**
১. $(x-1)(x-a)+(x-a)(x-b)+(x-b)(x-1)=0$ এর মূলদ্বয় সমান ও a = b হলে a = ?
*উত্তর:* 1

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন