পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   তথ্যসারির মানগুলো তাদের মাঝামাঝি কোনো একটি কেন্দ্রীয় মানের দিকে পুঞ্জীভূত বা কেন্দ্রীভূত হওয়ার প্রবণতাকে কেন্দ্রীয় প্রবণতা বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো তথ্যসারিকে মানের ক্রমানুসারে সাজালে যে মান তথ্যসারিটিকে সমান দুই ভাগে বিভক্ত করে তাকে মধ্যমা ($Me$) বলে। আবার, যেসব মান কোনো তথ্যসারিকে সমান চার ভাগে বিভক্ত করে তাদের চতুর্থক বলে; যার মধ্যে দ্বিতীয় চতুর্থক ($Q_2$) সমগ্র তথ্যসারিকে সমান দুটি অংশে ভাগ করে (অর্থাৎ এর নিচে ৫০% এবং উপরে ৫০% তথ্য থাকে)। যেহেতু মধ্যমা এবং দ্বিতীয় চতুর্থক উভয়েরই কাজ তথ্যসারিকে ৫০% করে সমান দুই ভাগে বিভক্ত করা, তাই তাত্ত্বিকভাবে মধ্যমা ও ২য় চতুর্থক পরস্পর সমান ($Me = Q_2$)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, ছাত্র দুজনের প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে $a$ ও $b$ (যেখানে $a \ge b$)।

   শর্তমতে,
   গাণিতিক গড়, $AM = \frac{a+b}{2} = 25$
   বা, $a + b = 50$ ..... (১)

   এবং জ্যামিতিক গড়, $GM = \sqrt{ab} = 15$
   বা, $ab = 15^2 = 225$ ..... (২)

   আমরা জানি,
   $(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$
   বা, $(a - b)^2 = (50)^2 - 4 \times 225 = 2500 - 900 = 1600$
   বা, $a - b = \sqrt{1600} = 40$ ..... (৩)

   (১) ও (৩) যোগ করে পাই,
   $2a = 90 \implies a = 45$

   (১) থেকে (৩) বিয়োগ করে পাই,
   $2b = 10 \implies b = 5$

   অতএব, ঐ দুজন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে ৪৫ ও ৫।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রাপ্ত মান দুটি হলো: $x_1 = 45, x_2 = 5$
   এখানে পদসংখ্যা $n = 2$ এবং গাণিতিক গড় $\bar{x} = 25$।

   ১. পরিসর ($R$):
   $R = x_{\max} - x_{\min} = 45 - 5 = 40$

   ২. গড় ব্যবধান ($MD$):
   $MD = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n} = \frac{|45 - 25| + |5 - 25|}{2} = \frac{20 + 20}{2} = \frac{40}{2} = 20$

   ৩. পরিমিত ব্যবধান ($\sigma$):
   $\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}} = \sqrt{\frac{(45 - 25)^2 + (5 - 25)^2}{2}} = \sqrt{\frac{20^2 + (-20)^2}{2}} = \sqrt{\frac{400 + 400}{2}} = \sqrt{400} = 20$

   পরিমাপগুলির মধ্যকার সম্পর্ক ও মন্তব্য:
   এখানে দেখা যাচ্ছে,
   পরিসর ($R$) = ৪০
   গড় ব্যবধান ($MD$) = ২০
   পরিমিত ব্যবধান ($\sigma$) = ২০

   অতএব, সম্পর্কটি হলো: পরিসর = ২ × গড় ব্যবধান = ২ × পরিমিত ব্যবধান, অর্থাৎ $R = 2MD = 2\sigma$ বা $MD = \sigma = \frac{R}{2}$।

   মন্তব্য: কেবল দুটি অশূন্য ও অসমান মানের ক্ষেত্রে গড় ব্যবধান ও পরিমিত ব্যবধান সর্বদা সমান হয় এবং তারা প্রত্যেকেই পরিসরের অর্ধেকের সমান হয়। প্রাপ্ত ফলাফলে এ ধর্মের সত্যতা প্রমাণিত হলো।