পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব পরীক্ষার সম্ভাব্য সকল ফলাফল বা নমুনা বিন্দু নিয়ে গঠিত সেটকে নমুনাক্ষেত্র (Sample Space) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $S$ একটি নমুনাক্ষেত্র এবং $B$ তার একটি যেকোনো ঘটনা। $B$-এর পূরক ঘটনা হলো $\bar{B}$, যা $B$ না ঘটার ঘটনাকে প্রকাশ করে।
   যেহেতু $B$ এবং $\bar{B}$ পরস্পর বর্জনশীল ও তাদের সংযোগ সেট সম্পূর্ণ নমুনাক্ষেত্র গঠন করে ($B \cup \bar{B} = S$ এবং $B \cap \bar{B} = \emptyset$), সেহেতু সম্ভাবনার যোগবিধি অনুসারে:
   $P(B \cup \bar{B}) = P(B) + P(\bar{B})$
   কিন্তু সমগ্র নমুনাক্ষেত্রের সম্ভাবনা $P(S) = 1$।
   অতএব, $P(B) + P(\bar{B}) = 1$। এটি নিশ্চিত করে যে একটি ঘটনা ঘটার ও না ঘটার সম্ভাবনার সমষ্টি সর্বদা ১।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   পাত্রে মোট বলের সংখ্যা = ৭টি সবুজ + ১টি সাদা = ৮টি।
   ৮টি বল থেকে দৈবভাবে ২টি বল বাছাইয়ের মোট উপায়:
   $n(S) = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

   'কমপক্ষে একটি বল সবুজ' হওয়ার অর্থ হলো ১টি সবুজ ও ১টি সাদা অথবা ২টিই সবুজ বল হওয়া। এর বিপরীত ঘটনা হলো 'কোনো বলই সবুজ না হওয়া' (অর্থাৎ ২টি বলই সাদা হওয়া)।
   যেহেতু পাত্রে সাদা বল আছে মাত্র ১টি, তাই ২টি সাদা বল নির্বাচন করা অসম্ভব ঘটনা।
   অর্থাৎ, কোনো সবুজ বল না পাওয়ার উপায় = $\binom{1}{2} = 0$।

   অতএব, কোনো সবুজ বল না পাওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{0}{28} = 0$।

   সুতরাং, কমপক্ষে একটি বল সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা:
   $P(\text{কমপক্ষে ১টি সবুজ}) = 1 - P(\text{কোনো সবুজ নয়}) = 1 - 0 = 1$

   (বিকল্পভাবে: ১টি সবুজ ও ১টি সাদা পাওয়ার উপায় = $\binom{7}{1} \times \binom{1}{1} = 7 \times 1 = 7$; ২টি সবুজ পাওয়ার উপায় = $\binom{7}{2} = 21$। মোট অনুকূল উপায় = $7 + 21 = 28$। অতএব, সম্ভাবনা = $\frac{28}{28} = 1$।)

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দুই বা ততোধিক ঘটনার সংযোগ যদি সম্পূর্ণ নমুনাক্ষেত্র গঠন করে, অর্থাৎ তাদের সম্ভাবনার সমষ্টি ১ হয়, তবে তাদের সম্পূর্ণ ঘটনা (Exhaustive events) বলে।

   ধরি,
   $E_1$ = বলদ্বয় একই রঙের হওয়ার ঘটনা
   $E_2$ = বলদ্বয় ভিন্ন রঙের হওয়ার ঘটনা

   পাত্রে ৭টি সবুজ ও ১টি সাদা বল নিয়ে মোট ৮টি বল রয়েছে। মোট নির্বাচন সংখ্যা $n(S) = \binom{8}{2} = 28$।

   ১. বলদ্বয় একই রঙের হওয়া ($E_1$): যেহেতু সাদা বল মাত্র ১টি, তাই একই রঙের হতে হলে দুটি বলই সবুজ হতে হবে।
   $E_1$-এর অনুকূল উপায় = $\binom{7}{2} = 21$
   $P(E_1) = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}$

   ২. বলদ্বয় ভিন্ন রঙের হওয়া ($E_2$): ১টি সবুজ ও ১টি সাদা বল হতে হবে।
   $E_2$-এর অনুকূল উপায় = $\binom{7}{1} \times \binom{1}{1} = 7 \times 1 = 7$
   $P(E_2) = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$

   এখন,
   $P(E_1) + P(E_2) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$
   এবং $E_1 \cup E_2 = S$ (কারণ দুটি বল তুললে তা হয় একই রঙের হবে, না হয় ভিন্ন রঙের হবে; এর বাইরে কোনো বিকল্প নেই)।

   যেহেতু ঘটনা দুটির সংযোগ সমগ্র নমুনাক্ষেত্রকে অন্তর্ভুক্ত করে এবং তাদের সম্ভাবনার সমষ্টি ১, সেহেতু ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ ঘটনা।
   সুতরাং, উদ্দীপকের আলোকে নিলুর বক্তব্যটি সত্য।