গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, সঞ্চারপথের যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(x, y)$।
প্রশ্নমতে,
$x = 2\sec\theta \implies \sec\theta = \frac{x}{2}$
$y = 3\tan\theta \implies \tan\theta = \frac{y}{3}$

আমরা জানি,
$\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$
$\implies \left(\frac{x}{2}\right)^2 - \left(\frac{y}{3}\right)^2 = 1$
$\implies \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$
এটি নির্ণেয় সঞ্চারপথ, যা একটি অধিবৃত্ত (Hyperbola)।

প্রমিত সমীকরণ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ এর সাথে তুলনা করে পাই,
$a^2 = 4 \implies a = 2$
$b^2 = 9 \implies b = 3$

উৎকেন্দ্রিকতা ($e$):
$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$

দিকাক্ষদ্বয়ের সমীকরণ:
$x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{2}{\frac{\sqrt{13}}{2}} = \pm \frac{4}{\sqrt{13}}$
বা, $\sqrt{13}x \pm 4 = 0$