পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলক X-এর মান যদি 0, 1, 2, ... ইত্যাদি হয় এবং এর সম্ভাবনা অপেক্ষক P(X = x) = (e^(-m) * m^x) / x! (যেখানে m > 0 একটি পরামিতি) হয়, তবে তাকে পৈঁসু বিন্যাস বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   পৈঁসু বিন্যাস সর্বদা ধনাত্মক বঙ্কিম। কারণ পৈঁসু বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক \sqrt{\beta_1} = \gamma_1 = 1 / \sqrt{m}। যেহেতু পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি m একটি ধনাত্মক সংখ্যা (m > 0), তাই \gamma_1-এর মান সর্বদা ধনাত্মক হয়। সুতরাং, পৈঁসু বিন্যাস সবসময় ধনাত্মক বঙ্কিম বিন্যাস।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-১ হতে পাই,
   P(X = 2) = P(X = 3)
   আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক:
   P(X = x) = (e^(-m) * m^x) / x!; x = 0, 1, 2, ...
   অতএব,
   (e^(-m) * m^2) / 2! = (e^(-m) * m^3) / 3!
   বা, m^2 / 2 = m^3 / 6
   বা, m / 3 = 1
   বা, m = 3
   সুতরাং, বিন্যাসটির পরামিতির মান m = 3।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-২ হতে,
   P(X = 3) = P(X = 4)
   বা, (e^(-m) * m^3) / 3! = (e^(-m) * m^4) / 4!
   বা, m^3 / 6 = m^4 / 24
   বা, m / 4 = 1
   বা, m = 4
   অতএব, উদ্দীপক-২ অনুসারে পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি m = 4।

   আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের সূঁচালতাঙ্ক,
   \beta_2 = 3 + 1/m
   = 3 + 1/4
   = 3 + 0.25 = 3.25

   অথবা অতিরিক্ত সূঁচালতাঙ্ক,
   \gamma_2 = \beta_2 - 3 = 0.25 > 0

   মন্তব্য: যেহেতু \beta_2 > 3 (অথবা \gamma_2 > 0), তাই বিন্যাসটি মধ্যম সূঁচালো বা পরিমিত বিন্যাস অপেক্ষা অধিক সূঁচালো। অর্থাৎ বিন্যাসটির আকৃতি অতি-সূঁচালো (Leptokurtic)।