গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত শর্তানুসারে,
$^nC_{r+1} : ^nC_{r+2} : ^nC_{r+3} = 15 : 24 : 28$

আমরা জানি, $\frac{^nC_k}{^nC_{k-1}} = \frac{n - k + 1}{k}$

অতএব,
$\frac{^nC_{r+2}}{^nC_{r+1}} = \frac{n - (r+2) + 1}{r+2} = \frac{n - r - 1}{r+2}$

শর্তমতে,
$\frac{n - r - 1}{r+2} = \frac{24}{15} = \frac{8}{5}$
$\Rightarrow 5(n - r - 1) = 8(r+2)$
$\Rightarrow 5n - 5r - 5 = 8r + 16$
$\Rightarrow 5n - 13r = 21$ ....... (i)

আবার,
$\frac{^nC_{r+3}}{^nC_{r+2}} = \frac{n - (r+3) + 1}{r+3} = \frac{n - r - 2}{r+3}$

শর্তমতে,
$\frac{n - r - 2}{r+3} = \frac{28}{24} = \frac{7}{6}$
$\Rightarrow 6(n - r - 2) = 7(r+3)$
$\Rightarrow 6n - 6r - 12 = 7r + 21$
$\Rightarrow 6n - 13r = 33$ ....... (ii)

সমীকরণ (ii) হতে (i) বিয়োগ করে পাই,
$(6n - 13r) - (5n - 13r) = 33 - 21$
$\Rightarrow n = 12$

$n$ এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,
$5(12) - 13r = 21$
$\Rightarrow 60 - 21 = 13r$
$\Rightarrow 13r = 39$
$\Rightarrow r = 3$

অতএব, $n = 12$ এবং $r = 3$।