পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো নির্দিষ্ট শর্তাধীনে পূর্বনির্ধারিত কোনো কাজ বারবার সম্পন্ন করার প্রক্রিয়াকে পরীক্ষণ (Experiment) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $P(A) = 1$ বলতে বোঝায় যে ঘটনা $A$ একটি নিশ্চিত ঘটনা (Sure Event)।
   কোনো পরীক্ষায় যে ঘটনাটি নিশ্চিতভাবেই ঘটবে, অর্থাৎ যার অনুকূল ফলাফল সংখ্যা এবং মোট ফলাফল সংখ্যা পরস্পর সমান, সেই ঘটনার সম্ভাবনা সর্বদা ১ হয়। যেমন—একটি নিরপেক্ষ ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে ৭-এর কম সংখ্যা আসার সম্ভাবনা ১।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা ৩ বার নিক্ষেপ করলে প্রাপ্ত নমুনা ক্ষেত্রটি হবে:
   $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
   এখানে, মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, $n(S) = 2^3 = 8$।

   ধরি, $A$ হলো বড়জোর ১টি হেড পাওয়ার ঘটনা। অর্থাৎ হেডের সংখ্যা ০ অথবা ১ হতে পারে।
   অনুকূল ফলাফলসমূহ: $\{HTT, THT, TTH, TTT\}$
   অতএব, $A$-এর অনুকূল বিন্দুর সংখ্যা, $n(A) = 4$।

   সুতরাং, বড়জোর ১টি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা:
   $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0.5$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   নমুনা ক্ষেত্র:
   $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$; $n(S) = 8$।

   ধরি,
   $E_1 =$ কোনো হেড না পাওয়ার ঘটনা
   $E_2 =$ তিনটি হেড পাওয়ার ঘটনা

   কোনো হেড না পাওয়া অর্থাৎ সবকয়টি টেল ($TTT$) পাওয়া:
   $E_1 = \{TTT\} \implies n(E_1) = 1$
   অতএব, কোনো হেড না পাওয়ার সম্ভাবনা, $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{1}{8}$।

   তিনটি হেড ($HHH$) পাওয়ার ঘটনা:
   $E_2 = \{HHH\} \implies n(E_2) = 1$
   অতএব, তিনটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা, $P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{1}{8}$।

   দেখা যাচ্ছে যে, $P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{8}$।
   অতএব, কোনো হেড না পাওয়ার সম্ভাবনা এবং তিনটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা প্রকৃতপক্ষে একই।

   সুতরাং, রবির উক্তিটি সম্পূর্ণ যথার্থ।