গণিত • MIST • মিলিটারি ইনস্টিটিউট অব সায়েন্স অ্যান্ড টেকনোলজি ভর্তি পরীক্ষা ২০১৯-২০২০

গণিত প্রশ্ন

1.

দুটি ম্যাট্রিক্স A এবং B দেয়া আছে। AB ও BA এর মধ্যে কোন সম্পর্ক থাকলে তা নির্ণয় কর। B-1 কে x ও A এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
A=[3x−4x2x−2xx0−x−xx] A = \left [ \begin{matrix} 3 x & - 4 x & 2 x \ - 2 x & x & 0 \ - x & - x & x \end{matrix} \right ] এবং B=[x2x−2x2x5x−4x3x7x−5x] B = \left [ \begin{matrix} x & 2 x & - 2 x \ 2 x & 5 x & - 4 x \ 3 x & 7 x & - 5 x \end{matrix} \right ]

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
A=x[3−42−210−1−11],B=x[12−225−437−5]A = x \begin{bmatrix} 3 & -4 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}, \quad B = x \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ 3 & 7 & -5 \end{bmatrix}

১ম অংশ: ABAB ও BABA এর মধ্যবর্তী সম্পর্ক নির্ণয়:
AB=x2[3−42−210−1−11][12−225−437−5]AB = x^2 \begin{bmatrix} 3 & -4 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ 3 & 7 & -5 \end{bmatrix}
=x2[3(1)−4(2)+2(3)3(2)−4(5)+2(7)3(−2)−4(−4)+2(−5)−2(1)+1(2)+0(3)−2(2)+1(5)+0(7)−2(−2)+1(−4)+0(−5)−1(1)−1(2)+1(3)−1(2)−1(5)+1(7)−1(−2)−1(−4)+1(−5)]= x^2 \begin{bmatrix} 3(1) - 4(2) + 2(3) & 3(2) - 4(5) + 2(7) & 3(-2) - 4(-4) + 2(-5) \\ -2(1) + 1(2) + 0(3) & -2(2) + 1(5) + 0(7) & -2(-2) + 1(-4) + 0(-5) \\ -1(1) - 1(2) + 1(3) & -1(2) - 1(5) + 1(7) & -1(-2) - 1(-4) + 1(-5) \end{bmatrix}
=x2[100010001]=x2I= x^2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = x^2 I

অনুরূপভাবে,
BA=x2[12−225−437−5][3−42−210−1−11]BA = x^2 \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ 3 & 7 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -4 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}
=x2[100010001]=x2I= x^2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = x^2 I

অতএব, AB=BA=x2IAB = BA = x^2 I (বা, AB=BAAB = BA)।

২য় অংশ: B−1B^{-1} কে xx ও AA এর মাধ্যমে প্রকাশ:
আমরা জানি, BA=x2IBA = x^2 I
উভয়পক্ষকে বাম দিক থেকে B−1B^{-1} দ্বারা গুণ করে পাই,
B−1(BA)=B−1(x2I)B^{-1}(BA) = B^{-1}(x^2 I)
  ⟹  (B−1B)A=x2B−1\implies (B^{-1}B)A = x^2 B^{-1}
  ⟹  IA=x2B−1\implies IA = x^2 B^{-1}
  ⟹  B−1=1x2A\implies B^{-1} = \frac{1}{x^2} A

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন