পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো একটি বইয়ের একটি নির্দিষ্ট পৃষ্ঠায় ছাপা ভুলের সংখ্যা পৈঁসু বিন্যাসের একটি বাস্তব উদাহরণ।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দ্বিপদী বিন্যাসের ক্ষেত্রে যখন মোট চেষ্টার সংখ্যা n অত্যন্ত বৃহৎ হয় (n → ∞), প্রতিটি চেষ্টায় সাফল্যের সম্ভাবনা p খুব ক্ষুদ্র হয় (p → 0), কিন্তু এদের গুণফল np = m একটি সসীম ও স্থির রাশি থাকে, তখন দ্বিপদী বিন্যাস পৈঁসু বিন্যাসে রূপান্তরিত হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   এখানে, একটি প্যাকেটে দ্রব্যের সংখ্যা n = 100 এবং ত্রুটিযুক্ত দ্রব্য পাওয়ার সম্ভাবনা p = 0.25% = 0.0025।
   যেহেতু n বড় এবং p অত্যন্ত ক্ষুদ্র, তাই এটি পৈঁসু বিন্যাস মেনে চলে।
   পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি m = np = 100 × 0.0025 = 0.25।

   ধরি, ত্রুটিযুক্ত দ্রব্যের সংখ্যা X।
   পৈঁসু বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক:
   P(X = x) = (e^(-m) × m^x) / x!; x = 0, 1, 2, ...

   কমপক্ষে একটি ত্রুটিযুক্ত দ্রব্য পাওয়ার সম্ভাবনা:
   P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)
   = 1 - (e^(-0.25) × (0.25)^0) / 0!
   = 1 - e^(-0.25)
   = 1 - 0.7788
   = 0.2212

   সুতরাং, কমপক্ষে একটি ত্রুটিযুক্ত দ্রব্য পাওয়ার সম্ভাবনা 0.2212 (বা 22.12%)।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একটি প্যাকেটে ঠিক দুটি ত্রুটিযুক্ত দ্রব্য থাকার সম্ভাবনা:
   P(X = 2) = (e^(-0.25) × (0.25)^2) / 2!
   = (0.7788 × 0.0625) / 2
   = 0.048675 / 2
   ≈ 0.02434 (বা 2.434%)

   মোট ক্রয়কৃত প্যাকেটের সংখ্যা N = 10,000।
   অতএব, দুটি ত্রুটিযুক্ত দ্রব্য আছে এরূপ প্রত্যাশিত প্যাকেটের সংখ্যা:
   E = N × P(X = 2)
   = 10,000 × 0.02434
   ≈ 243টি।

   যাচাই ও মন্তব্য: মোট 10,000টি প্যাকেটের মধ্যে প্রায় 243টি প্যাকেটে দুটি করে ত্রুটিযুক্ত দ্রব্য থাকবে। 243টি প্যাকেট একটি উল্লেখযোগ্য সংখ্যা এবং ব্যবসায়িক ক্ষেত্রে এটি কোনোভাবেই 'খুবই নগণ্য' নয়। অতএব, মি. রতনের বক্তব্য সঠিক নয়।