পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব চলকের প্রতিটি মান থেকে তার গাণিতিক প্রত্যাশার ব্যবধানের বর্গের প্রত্যাশিত মানকে ঐ দৈব চলকের ভেদাঙ্ক (Variance) বলে। একে Var(X) বা σ² দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   হ্যাঁ, দৈব চলকের মান ঋণাত্মক হতে পারে।
   কারণ দৈব চলক হলো এমন একটি বাস্তব সংখ্যা-মান ফাংশন, যা নমুনা ক্ষেত্রের প্রতিটি উপাদানকে একটি বাস্তব সংখ্যায় রূপান্তর করে। বাস্তব সংখ্যার সেট ধনাত্মক, শূন্য এবং ঋণাত্মক যেকোনো সংখ্যা ধারণ করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, কোনো ব্যবসায়ে লাভের পরিমাণকে দৈব চলক ধরলে লোকসানের ক্ষেত্রে এর মান ঋণাত্মক হতে পারে। তবে সম্ভাবনা কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, বিচ্ছিন্ন দৈব চলক y-এর সম্ভাবনা ফাংশন:
   P(y) = (y + 1)/k; যেখানে y = 1, 2, 3, 4।

   আমরা জানি, কোনো সম্ভাবনা ফাংশনের ক্ষেত্রে সকল সম্ভাব্য মানের সম্ভাবনার সমষ্টি 1 হয়। অর্থাৎ,
   ∑ P(y) = 1
   ⇒ P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 1
   ⇒ (1 + 1)/k + (2 + 1)/k + (3 + 1)/k + (4 + 1)/k = 1
   ⇒ 2/k + 3/k + 4/k + 5/k = 1
   ⇒ (2 + 3 + 4 + 5) / k = 1
   ⇒ 14 / k = 1
   ⇒ k = 14।

   অতএব, k-এর মান 14।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, k = 20।
   সুতরাং, P(y) = (y + 1)/20; y = 1, 2, 3, 4।

   প্রশ্নমতে, P(y ≥ 2) এবং P(y ≥ 3) যাচাই করতে হবে:

   বামপক্ষ:
   P(y ≥ 2) = P(y = 2) + P(y = 3) + P(y = 4)
   = (2 + 1)/20 + (3 + 1)/20 + (4 + 1)/20
   = 3/20 + 4/20 + 5/20
   = 12/20 = 3/5 = 0.6।

   ডানপক্ষ:
   P(y ≥ 3) = P(y = 3) + P(y = 4)
   = (3 + 1)/20 + (4 + 1)/20
   = 4/20 + 5/20
   = 9/20 = 0.45।

   যেহেতু P(y ≥ 2) = 12/20 এবং P(y ≥ 3) = 9/20,
   সেহেতু P(y ≥ 2) ≠ P(y ≥ 3)।
   অতএব, উদ্দীপকের আলোকে উক্তিটি সত্য বলে প্রমাণিত ও যাচাইকৃত হলো।