গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

আমরা জানি, $P$ ও $Q$ মানের দুইটি বল $\alpha$ কোণে ক্রিয়াশীল হলে তাদের লব্ধি $R$ হলে,
$R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ\cos\alpha$

প্রথম ক্ষেত্র:
মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ এবং লব্ধি $R_1 = (2m+1)\sqrt{P^2+Q^2}$
$\therefore R_1^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ\cos\theta$
$\Rightarrow (2m+1)^2(P^2+Q^2) = P^2 + Q^2 + 2PQ\cos\theta$
$\Rightarrow 2PQ\cos\theta = [(2m+1)^2 - 1](P^2+Q^2)$
$\Rightarrow 2PQ\cos\theta = (4m^2 + 4m)(P^2+Q^2) = 4m(m+1)(P^2+Q^2)$ ----- (1)

দ্বিতীয় ক্ষেত্র:
মধ্যবর্তী কোণ $\frac{\pi}{2}-\theta$ এবং লব্ধি $R_2 = (2m-1)\sqrt{P^2+Q^2}$
$\therefore R_2^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)$
$\Rightarrow (2m-1)^2(P^2+Q^2) = P^2 + Q^2 + 2PQ\sin\theta$
$\Rightarrow 2PQ\sin\theta = [(2m-1)^2 - 1](P^2+Q^2)$
$\Rightarrow 2PQ\sin\theta = (4m^2 - 4m)(P^2+Q^2) = 4m(m-1)(P^2+Q^2)$ ----- (2)

এখন, সমীকরণ (2) কে সমীকরণ (1) দ্বারা ভাগ করে পাই:
$\frac{2PQ\sin\theta}{2PQ\cos\theta} = \frac{4m(m-1)(P^2+Q^2)}{4m(m+1)(P^2+Q^2)}$
$\Rightarrow \tan\theta = \frac{m-1}{m+1}$ (প্রমাণিত)