গণিত • MIST • মিলিটারি ইনস্টিটিউট অব সায়েন্স অ্যান্ড টেকনোলজি ভর্তি পরীক্ষা ২০২১-২০২২

গণিত প্রশ্ন

4.

যদি x2+px+q=0x^2 + px + q = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের পার্থক্য 1 হয়, তবে প্রমাণ কর যে, p2+4q2=(1+2q)2p^2 + 4q^2 = (1 + 2q)^2

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, x2+px+q=0x^2 + px + q = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha এবং β\beta।

মূল ও সহগের সম্পর্ক হতে পাই,
α+β=−p\alpha + \beta = -p
αβ=q\alpha\beta = q

প্রশ্নমতে, মূলদ্বয়ের পার্থক্য 1,
∣α−β∣=1|\alpha - \beta| = 1

উভয়পাশে বর্গ করে পাই,
(α−β)2=1(\alpha - \beta)^2 = 1
  ⟹  (α+β)2−4αβ=1\implies (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 1
  ⟹  (−p)2−4q=1\implies (-p)^2 - 4q = 1
  ⟹  p2−4q=1\implies p^2 - 4q = 1
  ⟹  p2=1+4q\implies p^2 = 1 + 4q

এখন, বামপক্ষ:
LHS=p2+4q2\text{LHS} = p^2 + 4q^2
=1+4q+4q2[∵p2=1+4q]= 1 + 4q + 4q^2 \quad [\because p^2 = 1 + 4q]
=12+2⋅1⋅2q+(2q)2= 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2q + (2q)^2
=(1+2q)2=RHS= (1 + 2q)^2 = \text{RHS}

অতএব, p2+4q2=(1+2q)2p^2 + 4q^2 = (1 + 2q)^2 (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন