গণিত • MIST • মিলিটারি ইনস্টিটিউট অব সায়েন্স অ্যান্ড টেকনোলজি ভর্তি পরীক্ষা ২০২১-২০২২

গণিত প্রশ্ন

9.

sin⁡θ\sin\theta এর যে মানের জন্য 7sec⁡θ–3tan⁡θ7\sec\theta – 3\tan\theta এর মান নূন্যতম হয় তা কত হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, f(θ)=7sec⁡θ−3tan⁡θf(\theta) = 7\sec\theta - 3\tan\theta

θ\theta এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
f′(θ)=7sec⁡θtan⁡θ−3sec⁡2θf'(\theta) = 7\sec\theta\tan\theta - 3\sec^2\theta

ন্যূনতম বা চরম মানের জন্য, f′(θ)=0f'(\theta) = 0
⇒7sec⁡θtan⁡θ−3sec⁡2θ=0\Rightarrow 7\sec\theta\tan\theta - 3\sec^2\theta = 0
⇒sec⁡θ(7tan⁡θ−3sec⁡θ)=0\Rightarrow \sec\theta (7\tan\theta - 3\sec\theta) = 0

যেহেতু sec⁡θ≠0\sec\theta \neq 0,
∴7tan⁡θ−3sec⁡θ=0\therefore 7\tan\theta - 3\sec\theta = 0
⇒7⋅sin⁡θcos⁡θ=3⋅1cos⁡θ\Rightarrow 7 \cdot \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 3 \cdot \frac{1}{\cos\theta}
⇒7sin⁡θ=3\Rightarrow 7\sin\theta = 3
⇒sin⁡θ=37\Rightarrow \sin\theta = \frac{3}{7}

দ্বিতীয় অন্তরক পরীক্ষা:
f′′(θ)=7(sec⁡θtan⁡2θ+sec⁡3θ)−6sec⁡2θtan⁡θ=sec⁡θ(7tan⁡2θ+7sec⁡2θ−6sec⁡θtan⁡θ)f''(\theta) = 7(\sec\theta\tan^2\theta + \sec^3\theta) - 6\sec^2\theta\tan\theta = \sec\theta(7\tan^2\theta + 7\sec^2\theta - 6\sec\theta\tan\theta)
sin⁡θ=37>0\sin\theta = \frac{3}{7} > 0 হলে প্রথম চতুর্ভাগে cos⁡θ>0\cos\theta > 0 এবং sec⁡θ>0\sec\theta > 0, ফলে f′′(θ)>0f''(\theta) > 0 হয়, যা ন্যূনতম মান নির্দেশ করে।

অতএব, sin⁡θ=37\sin\theta = \frac{3}{7} এর জন্য রাশিটির মান ন্যূনতম হবে।

উত্তর: 37\frac{3}{7}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন