গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

আমরা জানি, $(1-x)^{-3}$ এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদ,
$T_{r+1} = \frac{(r+1)(r+2)}{2} x^r$

বৃহত্তম পদের ক্ষেত্রে,
$\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{r+2}{r} \cdot x$

এখানে $x = \frac{3}{5}$ বসিয়ে,
$\frac{T_{r+1}}{T_r} \ge 1$
$\Rightarrow \frac{r+2}{r} \cdot \frac{3}{5} \ge 1$
$\Rightarrow 3r + 6 \ge 5r$
$\Rightarrow 2r \le 6$
$\Rightarrow r \le 3$

যেহেতু $r$ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাই $r = 3$ হলে পদটির মান বৃহত্তম হয় (এবং $T_3 = T_4$)।
অতএব, বৃহত্তম পদের মান:
$T_4 = \frac{(3+1)(3+2)}{2} \left(\frac{3}{5}\right)^3 = 10 \times \frac{27}{125} = \frac{54}{25}$ বা $2.16$