পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব চলকের সম্ভাব্য মানসমূহ এবং তাদের নিজ নিজ সম্ভাবনার গুণফলের সমষ্টিকে উক্ত দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা বলে। একে E(x) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব চলক x-এর ভেদাঙ্কের সংজ্ঞা হলো: V(x) = E[(x - E(x))²]। যেহেতু এখানে চলকের মান এবং তার গাণিতিক গড় বা প্রত্যাশার বিচ্যুতিকে বর্গ ((x - E(x))²) করা হয়, তাই বিচ্যুতির বর্গের মান কখনোই ঋণাত্মক হতে পারে না। কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গের মান সবসময় অঋণাত্মক (≥ 0) হয়। বাস্তব ক্ষেত্রে চলক ধ্রুবক না হলে তা শূন্য অপেক্ষা বড় হয়। তাই কোনো দৈব চলকের ভেদাঙ্ক সর্বদাই ধনাত্মক বা অঋণাত্মক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, সম্ভাবনা অপেক্ষক:
   P(x) = (3 - |4 - x|) / 9; যেখানে x = 2, 3, 4, 5, 6

   আমাদের নির্ণয় করতে হবে P(3 < x ≤ 5)।
   যেহেতু x একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক এবং x এর মান পূর্ণসংখ্যা, তাই 3 < x ≤ 5 ব্যবধিতে x এর মানগুলো হলো x = 4 এবং x = 5।

   সুতরাং,
   P(3 < x ≤ 5) = P(x = 4) + P(x = 5)

   x = 4 হলে, P(4) = (3 - |4 - 4|) / 9 = (3 - 0) / 9 = 3/9 = 1/3
   x = 5 হলে, P(5) = (3 - |4 - 5|) / 9 = (3 - 1) / 9 = 2/9

   অতএব,
   P(3 < x ≤ 5) = 3/9 + 2/9 = 5/9।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রথমে x-এর সম্ভাবনাগুলো নির্ণয় করি:
   P(2) = (3 - |4 - 2|) / 9 = (3 - 2)/9 = 1/9
   P(3) = (3 - |4 - 3|) / 9 = (3 - 1)/9 = 2/9
   P(4) = (3 - |4 - 4|) / 9 = 3/9
   P(5) = (3 - |4 - 5|) / 9 = 2/9
   P(6) = (3 - |4 - 6|) / 9 = 1/9

   গাণিতিক প্রত্যাশা, E(x) = ∑ [x · P(x)]
   = 2(1/9) + 3(2/9) + 4(3/9) + 5(2/9) + 6(1/9)
   = (2 + 6 + 12 + 10 + 6) / 9 = 36/9 = 4

   E(x²) = ∑ [x² · P(x)]
   = 2²(1/9) + 3²(2/9) + 4²(3/9) + 5²(2/9) + 6²(1/9)
   = 4(1/9) + 9(2/9) + 16(3/9) + 25(2/9) + 36(1/9)
   = (4 + 18 + 48 + 50 + 36) / 9 = 156/9 = 52/3

   অতএব, V(x) = E(x²) - [E(x)]²
   = 52/3 - 4² = 52/3 - 16 = (52 - 48)/3 = 4/3 ≈ 1.33

   দেওয়া আছে, y = 3x + 5
   ভেদাঙ্কের ধর্ম অনুযায়ী, ধ্রুবক a ও b এর জন্য V(ax + b) = a² · V(x)।
   সুতরাং, V(y) = V(3x + 5) = 3² · V(x) = 9 · V(x)
   = 9 × (4/3) = 12

   তুলনা: V(y) এর মান V(x) এর মানের 9 গুণ, অর্থাৎ V(y) = 9 · V(x) = 12, যেখানে V(x) = 4/3। ভেদাঙ্ক মূলবিন্দু পরিবর্তনের ওপর নির্ভরশীল নয়, তবে মাপনী পরিবর্তনের বর্গের সাথে সমানুপাতিক।