গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত ফাংশন:
$f(x) = \cos^{-1}\left(\frac{2x}{x+1}\right)$

ডোমেন নির্ণয়:
$\cos^{-1}(y)$ ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হওয়ার শর্ত হলো $-1 \le y \le 1$।
অতএব, $-1 \le \frac{2x}{x+1} \le 1$ এবং $x+1 \ne 0 \implies x \ne -1$

প্রথম অংশ:
$\frac{2x}{x+1} \ge -1$
$\implies \frac{2x}{x+1} + 1 \ge 0$
$\implies \frac{3x+1}{x+1} \ge 0$
$\implies x < -1$ অথবা $x \ge -\frac{1}{3}$

দ্বিতীয় অংশ:
$\frac{2x}{x+1} \le 1$
$\implies \frac{2x}{x+1} - 1 \le 0$
$\implies \frac{x-1}{x+1} \le 0$
$\implies -1 < x \le 1$

উভয় শর্তের সাধারণ সমাধান:
$x \in \left[-\frac{1}{3}, 1\right]$

অতএব, ফাংশনটির ডোমেন = $\left[-\frac{1}{3}, 1\right]$

রেঞ্জ নির্ণয়:
যখন $x \in \left[-\frac{1}{3}, 1\right]$, তখন $y = \frac{2x}{x+1}$ এর মান $-1$ থেকে $1$ পর্যন্ত সমস্ত বাস্তব মান গ্রহণ করে।
আমরা জানি, $y \in [-1, 1]$ হলে $\cos^{-1}(y)$ এর মান $[0, \pi]$ এর মধ্যে থাকে।

অতএব, ফাংশনটির রেঞ্জ = $[0, \pi]$।