পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দ্বিপদী পরীক্ষায় নির্দিষ্ট সংখ্যক (n সংখ্যক) স্বাধীন চেষ্টার মধ্যে কোনো একটি নির্দিষ্ট ঘটনার (সাফল্যের) সংখ্যা নির্দেশকারী বিচ্ছিন্ন দৈব চলককে দ্বিপদী চলক বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দ্বিপদী বিন্যাসের পরামিতি দুটি: চেষ্টা সংখ্যা n এবং সাফল্যের সম্ভাবনা p।
   আমরা জানি, দ্বিপদী বিন্যাসের গড়, E(X) = np এবং ভেদাঙ্ক, V(X) = npq;
   যেখানে q = 1 - p হলো বিফলতার সম্ভাবনা।
   যেহেতু p একটি সম্ভাবনা এবং বাস্তব ক্ষেত্রে p > 0, তাই q = 1 - p < 1 হবে।
   অতএব, ভেদাঙ্ক V(X) = np × q < np [যেহেতু q < 1 এবং np > 0]
   সুতরাং, দ্বিপদী বিন্যাসের ক্ষেত্রে গড় সর্বদাই ভেদাঙ্ক অপেক্ষা বৃহত্তর, অর্থাৎ গড় > ভেদাঙ্ক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   এখানে শিশুর সংখ্যা, n = 5
   ছেলে শিশু হওয়ার সম্ভাবনা (সাফল্য), p = 0.6
   অতএব, ছেলে শিশু না হওয়ার সম্ভাবনা (বিফলতা), q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4

   ধরি, ছেলে শিশুর সংখ্যা X একটি দ্বিপদী চলক, যার সম্ভাবনা অপেক্ষক:
   P(X = x) = ⁿCₓ pˣ qⁿ⁻ˣ; x = 0, 1, 2, ..., n

   কোনো ছেলে শিশু জন্মগ্রহণ না করার অর্থ হলো X = 0।
   সুতরাং, নির্ণেয় সম্ভাবনা:
   P(X = 0) = ⁵C₀ (0.6)⁰ (0.4)⁵⁻⁰
   = 1 × 1 × (0.4)⁵
   = 0.001024

   অতএব, কোনো ছেলে শিশু জন্মগ্রহণ না করার সম্ভাবনা 0.001024 বা 0.1024%।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে, n = 5, p = 0.6 এবং q = 0.4।
   রহিমের বক্তব্য অনুযায়ী, বড়জোর একটি ছেলে শিশু হওয়ার সম্ভাবনা হলো P(X ≤ 1)।

   আমরা জানি,
   P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1)

   'গ' হতে পাই, P(X = 0) = 0.001024
   এবং,
   P(X = 1) = ⁵C₁ (0.6)¹ (0.4)⁵⁻¹
   = 5 × 0.6 × (0.4)⁴
   = 3 × 0.0256
   = 0.0768

   অতএব,
   P(X ≤ 1) = 0.001024 + 0.0768
   = 0.077824 বা 7.7824%

   রহিম দাবি করেছিল যে বড়জোর একটি ছেলে শিশু হওয়ার সম্ভাবনা 50%।
   কিন্তু গাণিতিক বিশ্লেষণে দেখা যায় যে সম্ভাবনার প্রকৃত মান প্রায় 7.78%, যা 50% এর সমান নয়।
   সুতরাং, রহিমের বক্তব্যটি সঠিক ছিল না বা সত্য নয়।