গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, $x^4 + 7x^3 + 8x^2 - 28x - 48 = 0$ সমীকরণের মূল চারটি $\alpha, -\alpha, \gamma, \delta$।

মূল ও সহগের সম্পর্ক থেকে পাই,
$\alpha + (-\alpha) + \gamma + \delta = -7$
$\implies \gamma + \delta = -7$ ...(i)

দুটি করে মূলের গুণফলের যোগফল:
$\alpha(-\alpha) + (\alpha - \alpha)(\gamma + \delta) + \gamma\delta = 8$
$\implies -\alpha^2 + \gamma\delta = 8$ ...(ii)

তিনটি করে মূলের গুণফলের যোগফল:
$\alpha(-\alpha)(\gamma + \delta) + \gamma\delta(\alpha - \alpha) = -(-28)$
$\implies -\alpha^2(-7) = 28$
$\implies 7\alpha^2 = 28$
$\implies \alpha^2 = 4$
$\implies \alpha = \pm 2$

$\alpha^2 = 4$ এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
$-4 + \gamma\delta = 8$
$\implies \gamma\delta = 12$ ...(iii)

এখন, $\gamma$ এবং $\delta$ মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ:
$y^2 - (\gamma + \delta)y + \gamma\delta = 0$
$\implies y^2 - (-7)y + 12 = 0$
$\implies y^2 + 7y + 12 = 0$
$\implies (y + 3)(y + 4) = 0$
$\therefore y = -3, -4$

অতএব, প্রদত্ত সমীকরণের মূলগুলো হলো: $2, -2, -3, -4$।