পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকে '15, 10 ও 120' প্রকৃতপক্ষে '১, ৫, ১০ ও ১২০' (1, 5, 10 এবং 120), যেখানে কমা বিচ্যুতিতে '১, ৫' একত্রিত হয়ে '১৫' হয়েছে। এই সংশোধনের ভিত্তিতে চারটি পরিঘাত μ₁' = 1, μ₂' = 5, μ₃' = 10, μ₄' = 120 বিবেচনা করা হয়েছে।

   কোনো তথ্যসারির প্রতিটি মান হতে এদের গাণিতিক গড়ের ব্যবধানের বিভিন্ন ঘাতের সমষ্টিকে মোট পদসংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যে মান পাওয়া যায়, তাকে কেন্দ্রীয় পরিঘাত বা শোধিত পরিঘাত বলে। r-তম কেন্দ্রীয় পরিঘাতকে μᵣ দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যেখানে μᵣ = Σ(xᵢ - x̄)ʳ / N।

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকে '15, 10 ও 120' প্রকৃতপক্ষে '১, ৫, ১০ ও ১২০' (1, 5, 10 এবং 120), যেখানে কমা বিচ্যুতিতে '১, ৫' একত্রিত হয়ে '১৫' হয়েছে। এই সংশোধনের ভিত্তিতে চারটি পরিঘাত μ₁' = 1, μ₂' = 5, μ₃' = 10, μ₄' = 120 বিবেচনা করা হয়েছে।

   ২য় কেন্দ্রীয় পরিঘাত কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না।
   আমরা জানি, কোনো তথ্যসারির ২য় কেন্দ্রীয় পরিঘাত হলো এর ভেদাঙ্ক (Variance), যা গাণিতিক গড় হতে মানগুলোর বিচ্যুতির বর্গের গড় নির্দেশ করে। অর্থাৎ, μ₂ = Σ(xᵢ - x̄)² / N।
   যেহেতু যেকোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ সর্বদা অঋণাত্মক (শূণ্য বা ধনাত্মক) হয়, তাই বিচ্যুতির বর্গের সমষ্টি Σ(xᵢ - x̄)² কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না। অতএব, মোট পদসংখ্যা N দ্বারা ভাগ করলেও মানটি সর্বদা অঋণাত্মক হয় (μ₂ ≥ 0)। সুতরাং ২য় কেন্দ্রীয় পরিঘাত ঋণাত্মক হওয়া অসম্ভব।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকে '15, 10 ও 120' প্রকৃতপক্ষে '১, ৫, ১০ ও ১২০' (1, 5, 10 এবং 120), যেখানে কমা বিচ্যুতিতে '১, ৫' একত্রিত হয়ে '১৫' হয়েছে। এই সংশোধনের ভিত্তিতে চারটি পরিঘাত μ₁' = 1, μ₂' = 5, μ₃' = 10, μ₄' = 120 বিবেচনা করা হয়েছে।

   উদ্দীপকে 'প্রথম চারটি পরিঘাত যথাক্রমে 15, 10 ও 120' উল্লেখ থাকলেও মূলত এটি '1, 5, 10 ও 120' এর মুদ্রণজনিত ত্রুটি ('১, ৫' কমা ছাড়া যুক্ত হয়ে '১৫' হয়েছে)। সঠিক মানানুসারে:
   ধ্রুবক a = 3 হতে মাপা অশোধিত পরিঘাতসমূহ হলো:
   μ₁' = 1
   μ₂' = 5
   μ₃' = 10

   দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত:
   μ₂ = μ₂' - (μ₁')²
   = 5 - (1)² = 5 - 1 = 4

   তৃতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত:
   μ₃ = μ₃' - 3μ₂'μ₁' + 2(μ₁')³
   = 10 - 3(5)(1) + 2(1)³
   = 10 - 15 + 2 = -3

   অতএব, দ্বিতীয় ও তৃতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাতের মান যথাক্রমে 4 এবং -3।

   (উল্লেখ্য, যদি প্রশ্নের অবিকল মান μ₁' = 15, μ₂' = 10, μ₃' = 120 বিবেচনা করা হয়, তবে μ₂ = 10 - (15)² = -215 এবং μ₃ = 120 - 3(10)(15) + 2(15)³ = 6420)।

4. ঘ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকে '15, 10 ও 120' প্রকৃতপক্ষে '১, ৫, ১০ ও ১২০' (1, 5, 10 এবং 120), যেখানে কমা বিচ্যুতিতে '১, ৫' একত্রিত হয়ে '১৫' হয়েছে। এই সংশোধনের ভিত্তিতে চারটি পরিঘাত μ₁' = 1, μ₂' = 5, μ₃' = 10, μ₄' = 120 বিবেচনা করা হয়েছে।

   উদ্দীপকের সংশোধিত মান অনুযায়ী অশোধিত পরিঘাতগুলো হলো: μ₁' = 1, μ₂' = 5, μ₃' = 10 এবং μ₄' = 120।
   'গ' হতে পাই, μ₂ = 4।

   চতুর্থ কেন্দ্রীয় পরিঘাত:
   μ₄ = μ₄' - 4μ₃'μ₁' + 6μ₂'(μ₁')² - 3(μ₁')⁴
   = 120 - 4(10)(1) + 6(5)(1)² - 3(1)⁴
   = 120 - 40 + 30 - 3
   = 107

   সূঁচলতা পরিমাপক (কার্টোসিস গুণাঙ্ক):
   β₂ = μ₄ / (μ₂)²
   = 107 / (4)²
   = 107 / 16
   = 6.6875

   মন্তব্য:
   যেহেতু β₂ > 3 (বা অতিরিক্ত সূঁচলতা γ₂ = β₂ - 3 = 3.6875 > 0), সুতরাং নিবেশনটি মধ্যম সূঁচালো বা পরিমিত অপেক্ষা অধিক সূঁচালো, অর্থাৎ নিবেশনটি অতি-সূঁচালো (Leptokurtic)।