গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, $z = x + iy$

প্রদত্ত রাশি,
$w = \frac{z+i}{z+2} = \frac{x + iy + i}{x + iy + 2} = \frac{x + i(y+1)}{(x+2) + iy}$

লব ও হরকে $[(x+2) - iy]$ দ্বারা গুণ করে পাই,
$w = \frac{[x + i(y+1)][(x+2) - iy]}{[(x+2) + iy][(x+2) - iy]}$
$= \frac{x(x+2) - ixy + i(y+1)(x+2) + y(y+1)}{(x+2)^2 + y^2}$
$= \frac{\{x(x+2) + y(y+1)\} + i\{(y+1)(x+2) - xy\}}{(x+2)^2 + y^2}$
$= \frac{x^2 + y^2 + 2x + y}{(x+2)^2 + y^2} + i\frac{2y + x + 2}{(x+2)^2 + y^2}$

যেহেতু রাশিটি সম্পূর্ণ কাল্পনিক, তাই এর বাস্তব অংশ শূন্য হবে।
অতএব, $\frac{x^2 + y^2 + 2x + y}{(x+2)^2 + y^2} = 0$
$\implies x^2 + y^2 + 2x + y = 0$ [যেখানে $(x, y) \neq (-2, 0)$]

অতএব, নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ: $x^2 + y^2 + 2x + y = 0$ বা একটি বৃত্ত।