**3.**

atan⁡θ+bsec⁡θ=ca anθ+b\secθ=c সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha, β\beta হলে, প্রমাণ করে যে, tan⁡(α+β)=2caa2−c2 an{\left (\alpha + \beta ight )} = \frac{2 c a}{a^{2} - c^{2}} .

Question

**3.**

atan⁡θ+bsec⁡θ=ca	anθ+b\secθ=c সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha, β\beta হলে, প্রমাণ করে যে, tan⁡(α+β)=2caa2−c2 	an{\left (\alpha + \beta ight )} = \frac{2 c a}{a^{2} - c^{2}} .

Accepted Answer

**AI-তৈরি নমুনা উত্তর**

প্রদত্ত সমীকরণ:
$$a	an	heta + b\sec	heta = c$$
$$\implies b\sec	heta = c - a	an	heta$$

উভয়পক্ষ বর্গ করে পাই,
$$b^2\sec^2	heta = (c - a	an	heta)^2$$
$$\implies b^2(1 + 	an^2	heta) = c^2 - 2ca	an	heta + a^2	an^2	heta$$
$$\implies b^2 + b^2	an^2	heta = c^2 - 2ac	an	heta + a^2	an^2	heta$$
$$\implies (a^2 - b^2)	an^2	heta - 2ac	an	heta + (c^2 - b^2) = 0$$

যেহেতু প্রদত্ত সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$, তাই উপরোক্ত দ্বিঘাত সমীকরণটির মূলদ্বয় হবে $	an\alpha$ এবং $	an\beta$।

সুতরাং, মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল:
$$	an\alpha + 	an\beta = -\frac{-2ac}{a^2 - b^2} = \frac{2ac}{a^2 - b^2}$$
$$	an\alpha \cdot 	an\beta = \frac{c^2 - b^2}{a^2 - b^2}$$

এখন,
$$	an(\alpha + \beta) = \frac{	an\alpha + 	an\beta}{1 - 	an\alpha 	an\beta}$$
$$= \frac{\frac{2ac}{a^2 - b^2}}{1 - \frac{c^2 - b^2}{a^2 - b^2}}$$
$$= \frac{\frac{2ac}{a^2 - b^2}}{\frac{(a^2 - b^2) - (c^2 - b^2)}{a^2 - b^2}}$$
$$= \frac{2ac}{a^2 - b^2 - c^2 + b^2}$$
$$= \frac{2ca}{a^2 - c^2}$$

$	herefore 	an(\alpha + \beta) = \frac{2ca}{a^2 - c^2}$ (প্রমাণিত)।

উত্তর ও ব্যাখ্যা

সম্পর্কিত প্রশ্ন

গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

সম্পর্কিত প্রশ্ন