পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকের (গ) অংশের 'ওটি' শব্দটি বাংলা হরফ '৩' এবং 'ও'-এর সাদৃশ্যের কারণে সৃষ্ট OCR বিভ্রাট, যার প্রকৃত পাঠ '৩টি'। | n = 100 বড় এবং p = 0.02 খুব ছোট হওয়ায় দ্বিপদী বিন্যাসের বদলে এর সীমিত রূপ পৈঁসু বিন্যাস ব্যবহার করা হয়েছে। | Assumed target words (not original markings): ৩টি

   কোনো নির্দিষ্ট সময় বা স্থানে কোনো বিরল ঘটনা ঘটার সংখ্যা নির্দেশকারী বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের বিন্যাসকে পৈঁসু বিন্যাস বলে। এর একমাত্র পরামিতি হলো গড় মান (m বা λ)।

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকের (গ) অংশের 'ওটি' শব্দটি বাংলা হরফ '৩' এবং 'ও'-এর সাদৃশ্যের কারণে সৃষ্ট OCR বিভ্রাট, যার প্রকৃত পাঠ '৩টি'। | n = 100 বড় এবং p = 0.02 খুব ছোট হওয়ায় দ্বিপদী বিন্যাসের বদলে এর সীমিত রূপ পৈঁসু বিন্যাস ব্যবহার করা হয়েছে। | Assumed target words (not original markings): ৩টি

   পৈঁসু বিন্যাসের একমাত্র পরামিতি m, যা কোনো নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে ঘটনা ঘটার গড় সংখ্যা প্রকাশ করে। বাস্তব ক্ষেত্রে কোনো ঘটনা ঘটার সংখ্যা কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না। তদুপরি, দ্বিপদী বিন্যাসের সীমিত রূপ হিসেবে যখন চেষ্টার সংখ্যা n অত্যন্ত বৃহৎ (n → ∞) এবং সাফল্যের সম্ভাবনা p অত্যন্ত ক্ষুদ্র (p → 0) কিন্তু ধনাত্মক (p > 0) হয়, তখন তাদের গুণফল m = np সর্বদা একটি সসীম ও ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা হয় (m > 0)। তাই পৈঁসু বিন্যাসের গড় সর্বদাই ধনাত্মক।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকের (গ) অংশের 'ওটি' শব্দটি বাংলা হরফ '৩' এবং 'ও'-এর সাদৃশ্যের কারণে সৃষ্ট OCR বিভ্রাট, যার প্রকৃত পাঠ '৩টি'। | n = 100 বড় এবং p = 0.02 খুব ছোট হওয়ায় দ্বিপদী বিন্যাসের বদলে এর সীমিত রূপ পৈঁসু বিন্যাস ব্যবহার করা হয়েছে। | Assumed target words (not original markings): ৩টি

   [অনুমান: প্রশ্নে 'ওটি' শব্দটি OCR ত্রুটিজনিত, যার প্রকৃত পাঠ '৩টি']

   এখানে,
   মোট নির্বাচিত বাল্বের সংখ্যা, n = 100
   একটি বাল্ব ত্রুটিপূর্ণ হবার সম্ভাবনা, p = 2% = 0.02
   যেহেতু n যথেষ্ট বড় (n ≥ 30) এবং p যথেষ্ট ক্ষুদ্র (p ≤ 0.05), তাই ত্রুটিপূর্ণ বাল্বের সংখ্যা X একটি পৈঁসু বিন্যাস মেনে চলে।

   পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি, m = np = 100 × 0.02 = 2

   পৈঁসু বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক:
   P(X = x) = (e^(-m) * m^x) / x! ; x = 0, 1, 2, ...

   সুতরাং ৩টি ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব পাওয়ার সম্ভাবনা (x = 3):
   P(X = 3) = (e^(-2) * 2^3) / 3!
   = (0.135335 × 8) / 6
   = 1.08268 / 6
   ≈ 0.1804 (বা 18.04%)

   অতএব, ৩টি ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব পাওয়ার সম্ভাবনা প্রায় 0.1804।

4. ঘ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকের (গ) অংশের 'ওটি' শব্দটি বাংলা হরফ '৩' এবং 'ও'-এর সাদৃশ্যের কারণে সৃষ্ট OCR বিভ্রাট, যার প্রকৃত পাঠ '৩টি'। | n = 100 বড় এবং p = 0.02 খুব ছোট হওয়ায় দ্বিপদী বিন্যাসের বদলে এর সীমিত রূপ পৈঁসু বিন্যাস ব্যবহার করা হয়েছে। | Assumed target words (not original markings): ৩টি

   উদ্দীপকে n = 100 (বৃহৎ) এবং p = 0.02 (ক্ষুদ্র) হওয়ায় ত্রুটিপূর্ণ বাল্বের সংখ্যা X পৈঁসু বিন্যাস মেনে চলে।
   বিন্যাসের পরামিতি, m = np = 100 × 0.02 = 2

   ১. বঙ্কিমতাঙ্ক নির্ণয়:
   পৈঁসু বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক,
   γ₁ = 1 / √m = 1 / √2 ≈ 0.7071

   ২. সূঁচালতাঙ্ক নির্ণয়:
   পৈঁসু বিন্যাসের পরিমিত সূঁচালতাঙ্ক,
   β₂ = 3 + 1/m = 3 + 1/2 = 3.5
   (অথবা অতিরিক্ত সূঁচালতাঙ্ক, γ₂ = β₂ - 3 = 1/m = 0.5)

   মন্তব্য:
   ক. যেহেতু γ₁ > 0 (γ₁ = 0.7071), সেহেতু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম (ডানদিকে বিস্তৃত)।
   খ. যেহেতু β₂ > 3 (বা γ₂ > 0), সেহেতু বিন্যাসটি মধ্যম সূঁচালো বা পরিমিত বিন্যাস অপেক্ষা অধিক সূঁচালো অর্থাৎ অতি-সূঁচালো (Leptokurtic)।