গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, সমবৃত্তভূমিক কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ $r$, উচ্চতা $h$ এবং আয়তন $V$।

শর্তানুসারে, উচ্চতা ভূমির ব্যাসার্ধের ব্যস্তানুপাতিক:
$h \propto \frac{1}{r}$
$\implies h = \frac{k}{r} \quad \text{[যেখানে $k$ একটি অশূন্য সমানুপাতিক ধ্রুবক]}$ ... (i)

আমরা জানি, সমবৃত্তভূমিক কোণকের আয়তন:
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

(i) নং সমীকরণ থেকে $h$-এর মান বসিয়ে পাই:
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 \left(\frac{k}{r}\right) = \frac{1}{3}\pi k r$

এখন ভূমির ব্যাসার্ধ $r$-এর সাপেক্ষে আয়তন $V$-এর পরিবর্তনের হার নির্ণয় করার জন্য উভয়পক্ষকে $r$-এর সাপেক্ষে ব্যবকলন করে পাই:
$\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{3}\pi k r\right)$
$\implies \frac{dV}{dr} = \frac{1}{3}\pi k$

যেহেতু $\pi$ এবং $k$ উভয়ই ধ্রুবক, তাই $\frac{1}{3}\pi k$ একটি ধ্রুবক রাশি।

সুতরাং, ভূমির ব্যাসার্ধের সাপেক্ষে তার আয়তনের পরিবর্তনের হার সর্বদা সমান (ধ্রুবক)। (দেখানো হলো)