$y=x^{\frac{2}{3}} \ln x$ বক্ররেখার প্রথম চতুর্থাংশে $x=8$ রেখার সাথে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

Question

Accepted Answer

ঘ. $\frac{9}{25}(160 \ln 2-31)$

ব্যাখ্যা: বক্ররেখা $y=x^{2/3}\ln x$ x-অক্ষকে x = 1 এ ছেদ করে (ln 1 = 0)। প্রথম চতুর্ভাগে x = 1 থেকে x = 8 পর্যন্ত ক্ষেত্রফল:

$\int_1^8x^{2/3}\ln x\,dx=\left[\frac35x^{5/3}\ln x-\frac{9}{25}x^{5/3}\right]_1^8$

x = 8: $x^{5/3}=32$ ⇒ $\frac35\cdot32\cdot3\ln2-\frac{9}{25}\cdot32=\frac{288}{5}\ln2-\frac{288}{25}$
x = 1: $-\frac{9}{25}$

ক্ষেত্রফল $=\frac{288}{5}\ln2-\frac{279}{25}=\frac{9}{25}(160\ln2-31)$।

**শর্টকাট:** অপশনের গঠন $\frac{9}{25}(\cdots)$ দেখে আংশিক যোগজের ধরন বোঝা যায়; $\int x^n\ln x$ এ সূত্র $\frac{x^{n+1}}{n+1}\left(\ln x-\frac1{n+1}\right)$।

**মনে রাখার কৌশল:** ln x কে u ধরে আংশিক যোগজ (ILATE)।

**একই ধরনের প্রশ্ন:**
১. $\int_1^e x\ln x\,dx=?$
*উত্তর:* $\frac{e^2+1}{4}$

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন