পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো নির্দিষ্ট বা সুনির্দিষ্ট শর্তাধীনে কোনো কাজ বারবার সম্পাদন করাকে পরীক্ষণ (Experiment) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো নিশ্চিত ঘটনার ক্ষেত্রে অনুকূল ফলাফল সংখ্যা নমুনাক্ষেত্রের মোট সম্ভাব্য ফলাফল সংখ্যার সমান হয়। সম্ভাবনা নির্ণয়ের সূত্র অনুযায়ী, $P(A) = \frac{m}{n}$। যেহেতু অনুকূল ফলাফল সংখ্যা $m$ কখনোই মোট ফলাফল সংখ্যা $n$-এর চেয়ে বড় হতে পারে না ($m \le n$), তাই $\frac{m}{n} \le 1$ হয়। যখন নিশ্চিত ঘটনা ঘটে তখন $m = n$ হয় এবং সম্ভাবনার মান হয় ১। সুতরাং, সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান এক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দুটি নিরপেক্ষ মুদ্রা নিক্ষেপ করার নমুনাক্ষেত্রটি হলো:
   $S_1 = \{HH, HT, TH, TT\}$
   এখানে মোট ফলাফলের সংখ্যা, $n(S_1) = 4$।

   মুদ্রায় বিপরীত পিঠ পাওয়ার ঘটনা $E$ হলে, অনুকূল ফলাফলগুলো হলো: $E = \{HT, TH\}$
   অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা, $n(E) = 2$।

   অতএব, বিপরীত পিঠ পাওয়ার সম্ভাবনা:
   $P(E) = \frac{n(E)}{n(S_1)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দুটি মুদ্রা ও একটি ছক্কার যৌথ নমুনাক্ষেত্রের মোট উপাদান সংখ্যা, $n(S) = 4 \times 6 = 24$।

   ধরি,
   $A$ = মুদ্রায় একই পিঠ পাওয়ার ঘটনা
   $B$ = ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা

   মুদ্রায় একই পিঠের ফলাফলসমূহ: $\{HH, TT\}$ (২টি)
   ছক্কার বিজোড় সংখ্যা: $\{1, 3, 5\}$ (৩টি)

   অতএব,
   $A$ ঘটনার অনুকূল উপাদান সংখ্যা = $2 \times 6 = 12$
   সুতরাং, $P(A) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

   $B$ ঘটনার অনুকূল উপাদান সংখ্যা = $4 \times 3 = 12$
   সুতরাং, $P(B) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

   মুদ্রায় একই পিঠ এবং ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার যৌথ ঘটনা $(A \cap B)$-এর উপাদানসমূহ:
   $\{(HH, 1), (HH, 3), (HH, 5), (TT, 1), (TT, 3), (TT, 5)\}$
   অনুকূল উপাদানের সংখ্যা, $n(A \cap B) = 2 \times 3 = 6$

   সুতরাং, $P(A \cap B) = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

   এখন,
   $P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

   যেহেতু $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, তাই ঘটনাদ্বয় পরস্পর স্বাধীন।
   অতএব, টিপুর বক্তব্যটি সত্য ও যথার্থ।