পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো পরীক্ষার নমুনা ক্ষেত্রের যেকোনো উপসেটকে একটি ঘটনা (Event) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সম্ভাবনার সংজ্ঞানুযায়ী, কোনো ঘটনা $A$-এর সম্ভাবনা হলো অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা $m$ এবং মোট ফলাফলের সংখ্যা $n$-এর অনুপাত, অর্থাৎ $P(A) = \frac{m}{n}$।
   যেহেতু কোনো ঘটনা ঘটার অনুকূল ফলাফল বা মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা গণনাভিত্তিক হওয়ায় কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না (সর্বনিম্ন $m = 0$ হতে পারে) এবং $n > 0$, তাই তাদের অনুপাতও সর্বদা অঋণাত্মক হয়। ফলে $0 \le P(A) \le 1$; অর্থাৎ সম্ভাবনার মান কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মোট বলের সংখ্যা = ৩টি সাদা + ৫টি কালো = ৮টি বল।
   মোট বল থেকে দৈবভাবে ২টি বল নির্বাচনের মোট উপায়:
   $n(S) = {^8C_2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$।

   ধরি, $A$ হলো নির্বাচিত দুটি বলই কালো হওয়ার ঘটনা।
   ৫টি কালো বল থেকে ২টি কালো বল নির্বাচনের অনুকূল উপায়:
   $n(A) = {^5C_2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$।

   সুতরাং, দুটি বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা:
   $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14} \approx 0.357$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মোট উপায়, $n(S) = {^8C_2} = 28$।

   ১. বল দুটি একই রঙের হওয়ার সম্ভাবনা:
   বল দুটি একই রঙের হতে পারে যদি দুটিই সাদা হয় অথবা দুটিই কালো হয়।
   ৩টি সাদা থেকে ২টি সাদা বল নির্বাচনের উপায় = ${^3C_2} = 3$
   ৫টি কালো থেকে ২টি কালো বল নির্বাচনের উপায় = ${^5C_2} = 10$
   অতএব, একই রঙের হওয়ার অনুকূল উপায় = $3 + 10 = 13$।
   সুতরাং, বল দুটি একই রঙের হওয়ার সম্ভাবনা, $P(\text{একই রঙ}) = \frac{13}{28}$।

   ২. বল দুটি ভিন্ন রঙের হওয়ার সম্ভাবনা:
   ভিন্ন রঙ হওয়া মানে ১টি সাদা এবং ১টি কালো বল হওয়া।
   অনুকূল উপায় = ${^3C_1} \times {^5C_1} = 3 \times 5 = 15$।
   সুতরাং, বল দুটি ভিন্ন রঙের হওয়ার সম্ভাবনা, $P(\text{ভিন্ন রঙ}) = \frac{15}{28}$।

   (অথবা, $P(\text{ভিন্ন রঙ}) = 1 - P(\text{একই রঙ}) = 1 - \frac{13}{28} = \frac{15}{28}$)

   এখানে দেখা যাচ্ছে যে,
   $P(\text{একই রঙ}) = \frac{13}{28}$ এবং $P(\text{ভিন্ন রঙ}) = \frac{15}{28}$
   যেহেতু $\frac{13}{28} \neq \frac{15}{28}$, তাই বল দুটি একই রঙের এবং ভিন্ন রঙের পাওয়ার সম্ভাবনা সমান নয়।

   অতএব, উদ্দীপকে উল্লিখিত বক্তব্যটি সঠিক।