গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রশ্নটিতে "$y^{-1}$ এর সহগ $C_r$" দ্বারা মূলত বিস্তৃতিতে $y^{-r}$ এর সহগকে $C_r$ বোঝানো হয়েছে।

$(2y^{-1} + 1)^{10} = (1 + 2y^{-1})^{10}$
দ্বিপদী উপপাদ্য অনুসারে বিস্তৃতি করলে পাই,
$(1 + 2y^{-1})^{10} = \sum_{r=0}^{10} \binom{10}{r} (2y^{-1})^r = \sum_{r=0}^{10} \binom{10}{r} 2^r y^{-r}$

অতএব, $y^{-r}$ এর সহগ,
$C_r = \binom{10}{r} 2^r$

একইভাবে,
$C_{r+2} = \binom{10}{r+2} 2^{r+2}$

শর্তানুসারে,
$C_{r+2} = 4 C_r$
$\implies \binom{10}{r+2} 2^{r+2} = 4 \cdot \binom{10}{r} 2^r$
$\implies \binom{10}{r+2} \cdot 2^r \cdot 4 = 4 \cdot \binom{10}{r} 2^r$
$\implies \binom{10}{r+2} = \binom{10}{r}$

আমরা জানি, $\binom{n}{x} = \binom{n}{y}$ হলে $x = y$ অথবা $x + y = n$ হয়।
যেহেতু $r+2 \neq r$, সুতরাং:
$(r + 2) + r = 10$
$\implies 2r + 2 = 10$
$\implies 2r = 8$
$\implies r = 4$

নির্ণেয় $r$ এর মান $4$।