পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকের 'গড় ব্যবধান 32 \sqrt{3/2}' পাঠ্যটি মুদ্রণত্রুটি; এটি মূলত 'গড় ও পরিমিত ব্যবধান যথাক্রমে 3 ও \sqrt{3/2}' (যেখানে বাংলা হরফে '3 ও' অপটিক্যাল বিভ্রান্তিতে '32' হয়েছে এবং 'পরিমিত' শব্দটি বাদ পড়েছে)।

   যে দৈব পরীক্ষার কেবল দুটি সম্ভাব্য ফলাফল থাকে (যেমন— সাফল্য ও বিফলতা) এবং প্রতিটি ট্রায়াল বা চেষ্টা পরস্পর স্বাধীন হয়, তাকে বার্নোলী ট্রায়াল বলে।

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকের 'গড় ব্যবধান 32 \sqrt{3/2}' পাঠ্যটি মুদ্রণত্রুটি; এটি মূলত 'গড় ও পরিমিত ব্যবধান যথাক্রমে 3 ও \sqrt{3/2}' (যেখানে বাংলা হরফে '3 ও' অপটিক্যাল বিভ্রান্তিতে '32' হয়েছে এবং 'পরিমিত' শব্দটি বাদ পড়েছে)।

   দ্বিপদী বিন্যাসের পরামিতি দুটি— মোট স্বাধীন চেষ্টার সংখ্যা n এবং প্রতি চেষ্টায় সাফল্যের সম্ভাবনা p। দ্বিপদী বিন্যাসের গড় = np।
   অতএব, কোনো দ্বিপদী বিন্যাসের গড় = 5 বলতে বোঝায়, পরামিতি n এবং p এর গুণফল np = 5। অর্থাৎ, পরীক্ষাটি দীর্ঘমেয়াদে বা বারবার পরিচালনা করলে গড়ে প্রতিবারে সাফল্যের প্রত্যাশিত সংখ্যা হবে 5।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকের 'গড় ব্যবধান 32 \sqrt{3/2}' পাঠ্যটি মুদ্রণত্রুটি; এটি মূলত 'গড় ও পরিমিত ব্যবধান যথাক্রমে 3 ও \sqrt{3/2}' (যেখানে বাংলা হরফে '3 ও' অপটিক্যাল বিভ্রান্তিতে '32' হয়েছে এবং 'পরিমিত' শব্দটি বাদ পড়েছে)।

   উদ্দীপকের তথ্যটি দৃশ্যত মুদ্রণত্রুটিযুক্ত। পরিসংখ্যানের দ্বিপদী বিন্যাসের কাঠামো অনুসারে অনুমিত মূল উদ্দীপক: গড় = 3 এবং পরিমিত ব্যবধান = \sqrt{3/2}।

   দেওয়া আছে:
   গড়, np = 3 ...(i)
   পরিমিত ব্যবধান, \sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{\frac{3}{2}}
   বা, ভেদাঙ্ক, npq = \frac{3}{2} ...(ii)

   (ii) নং সমীকরণকে (i) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,
   q = \frac{npq}{np} = \frac{3/2}{3} = \frac{1}{2}

   আমরা জানি, p + q = 1
   \implies p = 1 - q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

   (i) নং সমীকরণে p এর মান বসিয়ে পাই,
   n \times \frac{1}{2} = 3 \implies n = 6

   অতএব, দ্বিপদী বিন্যাসটির সম্ভাবনা অপেক্ষক:
   P(X = x) = \binom{n}{x} p^x q^{n-x} = \binom{6}{x} \left(\frac{1}{2}\right)^x \left(\frac{1}{2}\right)^{6-x} = \binom{6}{x} \left(\frac{1}{2}\right)^6; (x = 0, 1, 2, ..., 6)

   এখন, x = 3 এর জন্য:
   P(X = 3) = \binom{6}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 20 \times \frac{1}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16} = 0.3125।

4. ঘ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকের 'গড় ব্যবধান 32 \sqrt{3/2}' পাঠ্যটি মুদ্রণত্রুটি; এটি মূলত 'গড় ও পরিমিত ব্যবধান যথাক্রমে 3 ও \sqrt{3/2}' (যেখানে বাংলা হরফে '3 ও' অপটিক্যাল বিভ্রান্তিতে '32' হয়েছে এবং 'পরিমিত' শব্দটি বাদ পড়েছে)।

   'গ' হতে প্রাপ্ত পরামিতিদ্বয়: n = 6, p = 1/2 এবং q = 1/2।

   দ্বিপদী বিন্যাসের ১ম বঙ্কিমতাঙ্ক (Skewness coefficient):
   \gamma_1 = \frac{q - p}{\sqrt{npq}}

   মান বসিয়ে পাই,
   \gamma_1 = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{6 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}}} = \frac{0}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = 0
   (অথবা বঙ্কিমতাঙ্ক \beta_1 = \frac{(q - p)^2}{npq} = \frac{(0)^2}{3/2} = 0)

   মন্তব্য:
   যেহেতু বঙ্কিমতাঙ্ক \gamma_1 = 0 (বা \beta_1 = 0), তাই বিন্যাসটি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক কোনো দিকেই বঙ্কিম নয়; অর্থাৎ উদ্দীপকের দ্বিপদী বিন্যাসটি সম্পূর্ণ প্রতিসম (Symmetric)।