গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, $z = x + iy$

প্রদত্ত জটিল রাশি,
$\frac{z+i}{z+2} = \frac{x + i(y+1)}{(x+2) + iy}$

লব ও হরকে হর-এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা $(x+2) - iy$ দ্বারা গুণ করে পাই,
$\frac{z+i}{z+2} = \frac{[x + i(y+1)][(x+2) - iy]}{((x+2) + iy)((x+2) - iy)}$
$= \frac{x(x+2) - ixy + i(y+1)(x+2) - i^2 y(y+1)}{(x+2)^2 + y^2}$
$= \frac{[x(x+2) + y(y+1)] + i[(x+2)(y+1) - xy]}{(x+2)^2 + y^2}$
$= \frac{x^2 + 2x + y^2 + y}{(x+2)^2 + y^2} + i\frac{xy + x + 2y + 2 - xy}{(x+2)^2 + y^2}$

যেহেতু রাশিটি সম্পূর্ণ কাল্পনিক, তাই এর বাস্তব অংশ (Real part) শূন্য হবে।
$\text{Re}\left(\frac{z+i}{z+2}\right) = 0$
$\Rightarrow \frac{x^2 + y^2 + 2x + y}{(x+2)^2 + y^2} = 0$
$\Rightarrow x^2 + y^2 + 2x + y = 0$

এখানে হর $(x+2)^2 + y^2 \neq 0$, অর্থাৎ $(x, y) \neq (-2, 0)$।

অতএব, সঞ্চারপথের সমীকরণ: $x^2 + y^2 + 2x + y = 0$ (একটি বৃত্ত)।