পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যদি কোনো দৈব পরীক্ষায় প্রতিটি চেষ্টা পরস্পর স্বাধীন হয়, প্রতিটি চেষ্টার কেবল দুটি সম্ভাব্য ফলাফল (সাফল্য ও ব্যর্থতা) থাকে এবং প্রতিটি চেষ্টায় সাফল্যের সম্ভাবনা ধ্রুব থাকে, তবে নির্দিষ্ট সংখ্যক (n) স্বাধীন চেষ্টার মধ্যে সাফল্যের সংখ্যা যে সম্ভাবনা বিন্যাস মেনে চলে তাকে দ্বিপদী বিন্যাস বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দ্বিপদী বিন্যাসে সাফল্যের সম্ভাবনা p এবং ব্যর্থতার সম্ভাবনা q। যখন p = q = 0.5 হয়, তখন দ্বিপদী বিন্যাসটি সম্পূর্ণ সুষম বা প্রতিসম হয়। এক্ষেত্রে বিন্যাসটির বঙ্কিমতাঙ্ক β₁ = (q - p)² / (npq) = 0 এবং γ₁ = 0 হয়, যা সুষম বিন্যাসের বৈশিষ্ট্য। তাই p = 0.5 হলে দ্বিপদী বিন্যাস একটি সুষম বিন্যাস।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, মিষ্টি খারাপ হওয়ার ঘটনা সাফল্য এবং প্যাকেটে খারাপ মিষ্টির সংখ্যা x।
   এখানে, মোট মিষ্টির সংখ্যা, n = 12
   মিষ্টি খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা, p = 35% = 0.35
   মিষ্টি ভালো হওয়ার সম্ভাবনা, q = 1 - p = 1 - 0.35 = 0.65

   x একটি দ্বিপদী চলক যার সম্ভাবনা ফাংশন:
   P(x) = ⁿCₓ pˣ qⁿ⁻ˣ ; x = 0, 1, 2, ..., n

   'বড়জোর একটি মিষ্টি খারাপ হওয়া'র সম্ভাবনা:
   P(x ≤ 1) = P(x = 0) + P(x = 1)

   P(x = 0) = ¹²C₀ (0.35)⁰ (0.65)¹² = 1 × 1 × (0.65)¹² ≈ 0.005688
   P(x = 1) = ¹²C₁ (0.35)¹ (0.65)¹¹ = 12 × 0.35 × (0.65)¹¹ ≈ 0.036754

   অতএব, P(x ≤ 1) = 0.005688 + 0.036754 = 0.042442 ≈ 0.0424

   নির্ণেয় বড়জোর একটি মিষ্টি খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা প্রায় 0.0424 বা 4.24%।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুযায়ী, n = 12, p = 0.35, q = 0.65।

   বঙ্কিমতাঙ্ক পরিমাপ:
   প্রথম বঙ্কিমতা সহগ, γ₁ = (q - p) / √(npq)
   এখানে, npq = 12 × 0.35 × 0.65 = 2.73
   √(npq) = √2.73 ≈ 1.6523
   q - p = 0.65 - 0.35 = 0.30

   সুতরাং, γ₁ = 0.30 / 1.6523 ≈ +0.1816 > 0
   (অথবা β₁ = (q - p)² / (npq) = (0.30)² / 2.73 = 0.09 / 2.73 ≈ 0.033)

   সূঁচালতা পরিমাপ:
   সূঁচালতা সহগ, β₂ = 3 + (1 - 6pq) / (npq)
   এখানে, 1 - 6pq = 1 - 6(0.35)(0.65) = 1 - 1.365 = -0.365

   সুতরাং,
   β₂ = 3 + (-0.365 / 2.73) = 3 - 0.1337 ≈ 2.8663 < 3
   (বা অতিরিক্ত সূঁচালতা, γ₂ = β₂ - 3 ≈ -0.1337 < 0)

   মন্তব্য:
   ১. আকৃতি: যেহেতু γ₁ > 0 (ধনাত্মক), তাই বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম (Positive Skewed) বা ডানদিকে ঢালু।
   ২. প্রকৃতি: যেহেতু β₂ < 3 (বা γ₂ < 0), তাই বিন্যাসটি অনতিসূঁচালো বা চাপা/চ্যাপ্টা (Platykurtic)।