পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব পরীক্ষার নমুনাবিন্দুর সাথে সম্পর্কিত যে চলক বাস্তব সংখ্যা মান গ্রহণ করতে পারে এবং যার প্রতিটি মানের সাথে একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা জড়িত থাকে, তাকে দৈব চলক বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে পরীক্ষার সম্ভাব্য সকল ফলাফল আগে থেকেই জানা থাকে, কিন্তু কোনো একটি নির্দিষ্ট চেষ্টায় নিশ্চিতভাবে কোন ফলাফলটি আসবে তা আগে থেকে বলা যায় না, তাকে দৈব পরীক্ষা বলে।

   একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফলদ্বয় হলো হেড (H) বা টেল (T)। এখানে সম্ভাব্য ফলাফলগুলো আগে থেকেই জানা, কিন্তু নির্দিষ্ট একবারে নিক্ষেপ করলে হেড আসবে নাকি টেল আসবে তা নিশ্চিতভাবে বলা যায় না। তাছাড়া মুদ্রাটি নিরপেক্ষভাবে বারবার নিক্ষেপ করা সম্ভব। তাই একটি মুদ্রা নিক্ষেপ পরীক্ষা একটি দৈব পরীক্ষা।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, দৈব চলক $X$-এর সম্ভাবনা ফাংশন,
   $P(x) = \frac{x+4}{30}; \quad x = 0, 1, 2, 3, 4$

   আমাদের $P(2 \leq x \leq 4)$ এর মান নির্ণয় করতে হবে।

   আমরা জানি,
   $P(2 \leq x \leq 4) = P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4)$

   এখানে,
   $P(x = 2) = \frac{2+4}{30} = \frac{6}{30}$
   $P(x = 3) = \frac{3+4}{30} = \frac{7}{30}$
   $P(x = 4) = \frac{4+4}{30} = \frac{8}{30}$

   সুতরাং,
   $P(2 \leq x \leq 4) = \frac{6}{30} + \frac{7}{30} + \frac{8}{30} = \frac{6 + 7 + 8}{30} = \frac{21}{30} = \frac{7}{10} = 0.7$

   অতএব, $P(2 \leq x \leq 4) = \frac{7}{10}$ বা $0.7$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে, বিচ্ছিন্ন দৈব চলক $X$-এর সম্ভাবনা ফাংশন:
   $P(x) = \frac{x+4}{30}; \quad x = 0, 1, 2, 3, 4$

   আলতাফ স্যারের উক্তি অনুসারে, $P(0 \leq x \leq 2)$ এবং $[F(2) - F(0)]$ এর মান সমান।

   প্রথমে, $P(0 \leq x \leq 2)$ এর মান নির্ণয় করি:
   $P(0 \leq x \leq 2) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2)$
   $= \frac{0+4}{30} + \frac{1+4}{30} + \frac{2+4}{30}$
   $= \frac{4}{30} + \frac{5}{30} + \frac{6}{30} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2} = 0.5$

   এখন, ক্রমযোজিত সম্ভাবনা ফাংশন $F(x) = P(X \leq x)$ এর মান নির্ণয় করি:
   $F(0) = P(X \leq 0) = P(x = 0) = \frac{0+4}{30} = \frac{4}{30}$
   $F(2) = P(X \leq 2) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) = \frac{4}{30} + \frac{5}{30} + \frac{6}{30} = \frac{15}{30}$

   অতএব,
   $F(2) - F(0) = \frac{15}{30} - \frac{4}{30} = \frac{11}{30} \approx 0.367$

   যেহেতু $P(0 \leq x \leq 2) = \frac{15}{30}$ এবং $[F(2) - F(0)] = \frac{11}{30}$,
   সুতরাং, $P(0 \leq x \leq 2) \neq [F(2) - F(0)]$।

   অতএব, আলতাফ স্যারের উক্তিটি সঠিক নয় বা যথার্থ নয়।