গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:
$x^2 + y^2 - 4x - 6y - 7 = 0$

$(-2, 1)$ বিন্দুটি দ্বারা বৃত্তের সমীকরণ সিদ্ধ হয়:
$(-2)^2 + 1^2 - 4(-2) - 6(1) - 7 = 4 + 1 + 8 - 6 - 7 = 0$
অতএব, $(-2, 1)$ বিন্দুটি বৃত্তটির উপর অবস্থিত।

$(-2, 1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ:
$x(-2) + y(1) - 2(x - 2) - 3(y + 1) - 7 = 0$
$\Rightarrow -2x + y - 2x + 4 - 3y - 3 - 7 = 0$
$\Rightarrow -4x - 2y - 6 = 0$
$\Rightarrow 2x + y + 3 = 0$

স্পর্শকের উপর লম্ব রেখা (অর্থাৎ অভিলম্ব)-এর সমীকরণ:
যেহেতু এটি স্পর্শবিন্দু $(-2, 1)$ এবং বৃত্তের কেন্দ্র $C(2, 3)$ দিয়ে গমন করে, তাই এর সমীকরণ হবে:
$\frac{y - 1}{x - (-2)} = \frac{3 - 1}{2 - (-2)}$
$\Rightarrow \frac{y - 1}{x + 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow x + 2 = 2y - 2$
$\Rightarrow x - 2y + 4 = 0$

অতএব, নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ: $2x + y + 3 = 0$ এবং লম্ব রেখার সমীকরণ: $x - 2y + 4 = 0$।