পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব পরীক্ষার মোট সম্ভাব্য ফলাফলের মধ্যে কোনো একটি নির্দিষ্ট ঘটনার অনুকূল ফলাফলের অনুপাতকে ঐ ঘটনার সম্ভাবনা বলে। অর্থাৎ, কোনো ঘটনা A-এর সম্ভাবনা P(A) = (A ঘটনার অনুকূল ফলাফল সংখ্যা) / (নমুনা ক্ষেত্রের মোট ফলাফল সংখ্যা)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যদি P(A) = 0.66 হয়, তবে 'A' একটি সম্ভাব্য বা অনিয়ত (random/possible) ঘটনা।
   আমরা জানি, কোনো অসম্ভব ঘটনার সম্ভাবনা 0 এবং নিশ্চিত ঘটনার সম্ভাবনা 1 হয়। যেহেতু 0 < P(A) < 1 (এখানে P(A) = 0.66), তাই ঘটনাটি নিশ্চিতও নয়, অসম্ভবও নয়। এটি একটি সাধারণ দৈব বা সম্ভাব্য ঘটনা, যা দৈব পরীক্ষায় ঘটতে পারে আবার নাও ঘটতে পারে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা দুইবার নিক্ষেপ করলে প্রাপ্ত নমুনা ক্ষেত্রটি হবে:
   S = {HH, HT, TH, TT}
   এখানে, মোট সম্ভাব্য ফলাফল সংখ্যা, n(S) = 4।

   ধরি, সবগুলো মাথা পাওয়ার ঘটনা E।
   উদ্দীপক-১ অনুযায়ী, সবগুলো মাথা আসার অনুকূল ফলাফল হলো: E = {HH}
   অতএব, অনুকূল ফলাফল সংখ্যা, n(E) = 1।

   সুতরাং, সবগুলো মাথা পাওয়ার সম্ভাবনা,
   P(E) = n(E) / n(S) = 1/4 = 0.25।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-২ অনুসারে, একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা ও একটি নিরপেক্ষ ছক্কা একসাথে নিক্ষেপ করা হলো।
   মুদ্রা নিক্ষেপের ফলাফল: {H, T} এবং ছক্কা নিক্ষেপের ফলাফল: {1, 2, 3, 4, 5, 6}।
   সুতরাং, যৌথ নমুনা ক্ষেত্র S:
   S = {(H,1), (H,2), (H,3), (H,4), (H,5), (H,6), (T,1), (T,2), (T,3), (T,4), (T,5), (T,6)}
   এখানে, মোট ফলাফল সংখ্যা, n(S) = 2 × 6 = 12।

   ধরি, মুদ্রায় মাথা পাওয়ার ঘটনা A এবং ছক্কায় জোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা B।
   A = {(H,1), (H,2), (H,3), (H,4), (H,5), (H,6)} ⇒ n(A) = 6
   অতএব, P(A) = n(A) / n(S) = 6/12 = 1/2।

   B = {(H,2), (H,4), (H,6), (T,2), (T,4), (T,6)} ⇒ n(B) = 6
   অতএব, P(B) = n(B) / n(S) = 6/12 = 1/2।

   এখন, A ও B এর যৌথ ঘটনা (A ∩ B) হলো মুদ্রায় মাথা এবং ছক্কায় জোড় সংখ্যা আসা:
   A ∩ B = {(H,2), (H,4), (H,6)} ⇒ n(A ∩ B) = 3
   অতএব, P(A ∩ B) = n(A ∩ B) / n(S) = 3/12 = 1/4।

   আমরা জানি, দুটি ঘটনা স্বাধীন হওয়ার শর্ত হলো: P(A ∩ B) = P(A) × P(B)।
   এখানে, P(A) × P(B) = (1/2) × (1/2) = 1/4।
   যেহেতু P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 1/4, সেহেতু মুদ্রায় মাথা পাওয়ার ঘটনা এবং ছক্কায় জোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।