গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, উপবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$।
উপকেন্দ্র $S(0, 2)$, উৎকেন্দ্রিকতা $e = \frac{1}{2}$ এবং নিয়ামকের সমীকরণ $y + 4 = 0$।

কণিকের সংজ্ঞানুসারে,
$SP = e \cdot PM$
যেখানে $PM$ হলো $P(x, y)$ থেকে নিয়ামক রেখার লম্ব দূরত্ব।
$PM = \frac{|y + 4|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = |y + 4|$

সুতরাং,
$SP^2 = e^2 \cdot PM^2$
$\Rightarrow (x - 0)^2 + (y - 2)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 (y + 4)^2$
$\Rightarrow x^2 + y^2 - 4y + 4 = \frac{1}{4}(y^2 + 8y + 16)$
$\Rightarrow 4x^2 + 4y^2 - 16y + 16 = y^2 + 8y + 16$
$\Rightarrow 4x^2 + 3y^2 - 24y = 0$

এটিই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

সমীকরণটিকে আদর্শ আকারে প্রকাশ করে পাই:
$4x^2 + 3(y^2 - 8y + 16) = 48$
$4x^2 + 3(y - 4)^2 = 48$
$\frac{x^2}{12} + \frac{(y - 4)^2}{16} = 1$

এখানে $a^2 = 12 \Rightarrow a = 2\sqrt{3}$ এবং $b^2 = 16 \Rightarrow b = 4$।
যেহেতু $b > a$, তাই উপবৃত্তটির বৃহৎ অক্ষ $y$-অক্ষের সমান্তরাল।

অতএব, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $= \frac{2a^2}{b} = \frac{2 \times 12}{4} = 6$ একক।