গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
প্রথম রেখার সমীকরণ:
$x\sec\theta - y\operatorname{cosec}\theta = k$
$\implies \frac{x}{\cos\theta} - \frac{y}{\sin\theta} = k$
$\implies x\sin\theta - y\cos\theta = k\sin\theta\cos\theta$
$\implies x\sin\theta - y\cos\theta - \frac{k}{2}\sin 2\theta = 0$

মূলবিন্দু $(0, 0)$ হতে এই রেখার লম্ব দূরত্ব,
$p_1 = \frac{|0 - 0 - \frac{k}{2}\sin 2\theta|}{\sqrt{\sin^2\theta + \cos^2\theta}} = \left|\frac{k}{2}\sin 2\theta\right| = 2\text{ cm}$
$\implies |k\sin 2\theta| = 4$ --- (১)

দ্বিতীয় রেখার সমীকরণ:
$x\cos\theta - y\sin\theta = k\cos 2\theta$
$\implies x\cos\theta - y\sin\theta - k\cos 2\theta = 0$

মূলবিন্দু $(0, 0)$ হতে এই রেখার লম্ব দূরত্ব,
$p_2 = \frac{|0 - 0 - k\cos 2\theta|}{\sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta}} = |k\cos 2\theta| = 3\text{ cm}$ --- (২)

সমীকরণ (১) ও (২) কে বর্গ করে যোগ করে পাই,
$(k\sin 2\theta)^2 + (k\cos 2\theta)^2 = 4^2 + 3^2$
$\implies k^2(\sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta) = 16 + 9$
$\implies k^2 \cdot 1 = 25$
$\implies k = \pm 5\text{ cm}$

অতএব, $k$ এর মান $\pm 5\text{ cm}$।