পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো তথ্যসারির মধ্যক মান বা কেন্দ্রীয় মান হতে অন্যান্য মানগুলোর বিস্তৃতি বা ব্যবধানের মাত্রাকে বিস্তার (Dispersion) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   পরিমিত ব্যবধানের সর্বনিম্ন মান শূন্য (0)।
   কারণ পরিমিত ব্যবধান হলো গাণিতিক গড় হতে তথ্যসারির প্রতিটি মানের বিচ্যুতি বা ব্যবধানের বর্গের গড়ের ধনাত্মক বর্গমূল। যেহেতু বাস্তব সংখ্যার বর্গ কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই পরিমিত ব্যবধান কখনো ঋণাত্মক হয় না ($\sigma \ge 0$)। তথ্যসারির সবগুলো পর্যবেক্ষণ মান সমান হলে গড় হতে প্রতিটি মানের ব্যবধান শূন্য হয়, ফলে পরিমিত ব্যবধানের মান শূন্য হয়। তাই এর সর্বনিম্ন মান ০।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সৌম্যের রানের তথ্য: ১০২, ০, ৫, ৩৫, ১০, ৪৫। এখানে পদসংখ্যা $n = 6$।

   সৌম্যের গড় রান, $\bar{x} = \frac{102 + 0 + 5 + 35 + 10 + 45}{6} = \frac{197}{6} \approx 32.83$

   গড় ব্যবধান নির্ণয়ের জন্য গড় থেকে পরম বিচ্যুতিসমূহ:
   $|102 - 32.83| = 69.17$
   $|0 - 32.83| = 32.83$
   $|5 - 32.83| = 27.83$
   $|35 - 32.83| = 2.17$
   $|10 - 32.83| = 22.83$
   $|45 - 32.83| = 12.17$

   পরম বিচ্যুতিগুলোর সমষ্টি, $\sum |x - \bar{x}| = 69.17 + 32.83 + 27.83 + 2.17 + 22.83 + 12.17 = 167$

   অতএব, সৌম্যের রানের গড় ব্যবধান, $MD = \frac{\sum |x - \bar{x}|}{n} = \frac{167}{6} \approx 27.83$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   খেলোয়াড় নির্বাচনে ধারাবাহিকতা ও নির্ভরযোগ্যতা যাচাইয়ের জন্য বিভেদাঙ্ক ($CV$) তুলনা করা হয়। যে ব্যাটসম্যানের বিভেদাঙ্ক কম, তিনি বেশি ধারাবাহিক ও নির্ভরযোগ্য।

   উদ্দীপক অনুসারে,
   তামিমের বিভেদাঙ্ক, $CV_{\text{তামিম}} = 16\%$

   সৌম্যের রানের বিভেদাঙ্ক নির্ণয়:
   সৌম্যের রান: ১০২, ০, ৫, ৩৫, ১০, ৪৫; যেখানে $n = 6$ এবং গড় $\bar{x} = 32.83$।
   বর্গের সমষ্টি, $\sum x^2 = 102^2 + 0^2 + 5^2 + 35^2 + 10^2 + 45^2 = 10404 + 0 + 25 + 1225 + 100 + 2025 = 13779$

   পরিমিত ব্যবধান, $\sigma = \sqrt{\frac{\sum x^2}{n} - (\bar{x})^2} = \sqrt{\frac{13779}{6} - (32.83)^2} = \sqrt{2296.5 - 1077.81} = \sqrt{1218.69} \approx 34.91$

   অতএব, সৌম্যের বিভেদাঙ্ক, $CV_{\text{সৌম্য}} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100\% = \frac{34.91}{32.83} \times 100\% \approx 106.34\%$

   মন্তব্য: দেখা যাচ্ছে যে, তামিমের বিভেদাঙ্ক (১৬%) সৌম্যের বিভেদাঙ্ক (১০৬.৩৪%) অপেক্ষা অনেক কম ($CV_{\text{তামিম}} < CV_{\text{সৌম্য}}$)। অর্থাৎ তামিমের ব্যাটিং পারফরম্যান্স সৌম্যের তুলনায় অনেক বেশি স্থিতিশীল, সামঞ্জস্যপূর্ণ ও নির্ভরযোগ্য। তাই নির্বাচক কমিটি তামিমকে দলে খেলার জন্য চূড়ান্তভাবে নির্বাচিত করবেন।